c ++ sqrt保證精度，上限/下限

Question

我必須檢查包含平方根的不等式。 為了避免由於浮點不准確和舍入導致的錯誤結果，我使用std::nextafter()來獲取上限/下限：

#include <cfloat> // DBL_MAX
#include <cmath> // std::nextafter, std::sqrt

double x = 42.0; //just an example number
double y = std::nextafter(std::sqrt(x), DBL_MAX);

a）使用GCC編譯器是否保證y*y >= x ？

b）這適用於其他操作，如+ - * /甚至std::cos()和std::acos()嗎？

c）是否有更好的方法來獲得上限/下限？

更新：我讀過這不是C ++標准保證的，但應該按照IEEE-754工作。 這適用於GCC編譯器嗎？

Answer 1

通常，浮點運算將導致一些ULP錯誤。 IEEE 754要求大多數操作的結果在0.5 ULP內正確，但錯誤可能累積，這意味着結果可能不在精確結果的一個ULP內。 精度也有限制，因此根據結果值中的位數，您也可能無法使用相同大小的值。 先驗函數在將錯誤引入計算方面也有些臭名昭着 。

但是，如果您使用的是GNU glibc ，則sqrt將在0.5 ULP（舍入）范圍內正確，因此您的具體示例將起作用（忽略NaN ， +/-0 ， +/-Inf ）。 雖然，最好將一些epsilon定義為您的容錯，並將其用作綁定。 例如，

bool gt(double a, double b, double eps) {

  return (a > b - eps);
}

根據計算中所需的精度級別，您可能還需要使用long double 。

那么，回答你的問題......

a）使用GCC編譯器是否保證y * y> = x？

假設您使用GNU glibc或SSE2內在函數，是的。

b）這適用於其他操作，如+ - * /甚至std :: cos（）和std :: acos（）嗎？

假設你使用GNU glibc和一個操作，是的。 雖然一些超驗主義並未得到正確的保證。

c）是否有更好的方法來獲得上限/下限？

您需要知道計算中的誤差容限，並將其用作epsilon（可能大於一個ULP）。

Answer 2

對於GCC， 此頁面表明如果您使用GCC內置sqrt函數__builtin_sqrt ，它將起作用。

此外，此行為將取決於您編譯代碼的方式以及運行它的計算機

1. 如果處理器支持SSE2，那么您應該使用標志-mfpmath=sse -msse2編譯代碼，以確保使用SSE寄存器完成所有浮點操作。

2. 如果處理器不支持SSE2，則應使用long double類型作為浮點值，並使用標志-ffloat-store進行編譯，以強制GCC不使用寄存器來存儲浮點值（您將受到性能損失）這樣做）

Answer 3

關於

c）是否有更好的方法來獲得上限/下限？

另一種方法是使用不同的舍入模式 ，即FE_UPWARD或FE_DOWNWARD而不是默認的FE_TONEAREST 。 請參閱https://stackoverflow.com/a/6867722這可能會更慢 ，但上限/下限更好。