符合IEEE-754標准的半圓到偶數

Question

C標准庫在C99中提供round ， lround和llround系列函數。 但是，這些功能不符合IEEE-754標准，因為它們沒有實現IEEE規定的半個到偶數的“銀行家舍入”。 如果小數分量恰好為0.5，則半到均勻舍入要求將結果四舍五入到最接近的偶數值。 相反，如cppreference.com上所述，C99標准要求半個零距離

1-3）計算最接近arg的整數值（浮點格式），將中間情況舍入為零，不管當前的舍入模式如何。

在C中實現舍入的通常的臨時方法是表達式(int)(x + 0.5f) ，盡管在嚴格的IEEE-754數學中不正確 ，但通常由編譯器將其轉換為正確的cvtss2si指令。 然而，這肯定不是一個可移植的假設。

如何實現一個函數，它將使用半對偶語義對任何浮點值進行舍入？ 如果可能，該函數應僅依賴於語言和標准庫語義，以便它可以在非IEEE浮點類型上運行。 如果這不可能，則根據IEEE-754位表示定義的答案也是可接受的。 請根據<limits.h>或<limits>來表征任何常量。

Answer 1

舍入數字x，如果x和round（x）之​​間的差值恰好是+0.5或-0.5，而round（x）是奇數，則round（x）在錯誤的方向上舍入，因此您減去與X。

Answer 2

C標准庫在C99中提供round ， lround和llround系列函數。 但是，這些功能不符合IEEE-754標准，因為它們沒有按照IEEE的要求實現半個到偶數的“銀行家舍入”...

談論個別功能是否符合“IEEE-754”是沒有意義的。 IEEE-754合規性要求具有定義語義的一組數據類型操作可用。 它不要求這些類型或操作具有特定名稱，也不要求只有那些操作可用。 實現可以提供它想要的任何附加功能並且仍然是兼容的。 如果一個實現想要提供舍入到奇數，舍入隨機，舍入為零和陷阱 - 如果不精確，它可以這樣做。

什么IEEE-754實際需要四舍五入是提供了以下六種操作：

convertToIntegerTiesToEven （x）

convertToIntegerTowardZero （x）

convertToIntegerTowardPositive （x）

convertToIntegerTowardNegative （x）

convertToIntegerTiesToAway （x）

convertToIntegerExact （x）

在C和C ++中，這些操作的最后五個分別綁定到trunc ， ceil ， floor ， round和rint函數。 C11和C ++ 14沒有第一個綁定，但未來的修訂將使用roundeven 。 如您所見， round實際上是必需的操作之一。

但是， roundeven在當前的實現中不可用，這將我們帶到您問題的下一部分：

在C中實現舍入的通常的臨時方法是表達式(int)(x + 0.5f) ，盡管在嚴格的IEEE-754數學中不正確，但通常由編譯器將其轉換為正確的cvtss2si指令。 然而，這肯定不是一個可移植的假設。

該表達式的問題遠遠超出了“嚴格的IEEE-754數學”。 對於負x ，它是完全不正確的，為nextDown(0.5)給出了錯誤的答案，並將2 ** 23 binade中的所有奇數整數變為偶數整數。 任何將它轉換為cvtss2si編譯器都是可怕的，可怕的破壞。 如果你有一個這樣的例子，我很樂意看到它。

如何實現一個函數，它將使用半對偶語義對任何浮點值進行舍入？

正如njuffa在評論中指出的那樣，你可以確保設置默認的舍入模式並使用rint （或lrint ，因為它聽起來你實際上想要一個整數結果），或者你可以通過調用round然后修復來實現自己的舍入功能像gnasher729這樣的中途案例表明。 一旦采用了針對C的n1778綁定，您將能夠使用roundeven或fromfp函數來執行此操作，而無需控制舍入模式。

Answer 3

使用C標准庫中的remainder(double x, 1.0) 。 這與當前的舍入模式無關。

余數函數計算IEC 60559要求的余數x REM y

remainder()在這里很有用，因為它符合OP與甚至要求的關系。

---

double round_to_nearest_ties_to_even(double x) {
  x -= remainder(x, 1.0);
  return x;
}

測試代碼

void rtest(double x) {
  double round_half_to_even = round_to_nearest_ties_to_even(x);
  printf("x:%25.17le   z:%25.17le \n", x, round_half_to_even);
}

void rtest3(double x) {
  rtest(nextafter(x, -1.0/0.0));
  rtest(x);
  rtest(nextafter(x, +1.0/0.0));
}

int main(void) {
  rtest3(-DBL_MAX);
  rtest3(-2.0);
  rtest3(-1.5);
  rtest3(-1.0);
  rtest3(-0.5);
  rtest(nextafter(-0.0, -DBL_MAX));
  rtest(-0.0);
  rtest(0.0);
  rtest(nextafter(0.0, +DBL_MAX));
  rtest3(0.5);
  rtest3(1.0);
  rtest3(1.5);
  rtest3(2.0);
  rtest3(DBL_MAX);
  rtest3(0.0/0.0);
  return 0;
}

產量

x:                     -inf   z:                     -inf 
x:-1.79769313486231571e+308   z:-1.79769313486231571e+308 
x:-1.79769313486231551e+308   z:-1.79769313486231551e+308 
x: -2.00000000000000044e+00   z: -2.00000000000000000e+00 
x: -2.00000000000000000e+00   z: -2.00000000000000000e+00 
x: -1.99999999999999978e+00   z: -2.00000000000000000e+00 
x: -1.50000000000000022e+00   z: -2.00000000000000000e+00 
x: -1.50000000000000000e+00   z: -2.00000000000000000e+00 tie to even
x: -1.49999999999999978e+00   z: -1.00000000000000000e+00 
x: -1.00000000000000022e+00   z: -1.00000000000000000e+00 
x: -1.00000000000000000e+00   z: -1.00000000000000000e+00 
x: -9.99999999999999889e-01   z: -1.00000000000000000e+00 
x: -5.00000000000000111e-01   z: -1.00000000000000000e+00 
x: -5.00000000000000000e-01   z:  0.00000000000000000e+00 tie to even 
x: -4.99999999999999944e-01   z:  0.00000000000000000e+00 
x:-4.94065645841246544e-324   z:  0.00000000000000000e+00 
x: -0.00000000000000000e+00   z:  0.00000000000000000e+00 
x:  0.00000000000000000e+00   z:  0.00000000000000000e+00 
x: 4.94065645841246544e-324   z:  0.00000000000000000e+00 
x:  4.99999999999999944e-01   z:  0.00000000000000000e+00 
x:  5.00000000000000000e-01   z:  0.00000000000000000e+00 tie to even 
x:  5.00000000000000111e-01   z:  1.00000000000000000e+00 
x:  9.99999999999999889e-01   z:  1.00000000000000000e+00 
x:  1.00000000000000000e+00   z:  1.00000000000000000e+00 
x:  1.00000000000000022e+00   z:  1.00000000000000000e+00 
x:  1.49999999999999978e+00   z:  1.00000000000000000e+00 
x:  1.50000000000000000e+00   z:  2.00000000000000000e+00 tie to even 
x:  1.50000000000000022e+00   z:  2.00000000000000000e+00 
x:  1.99999999999999978e+00   z:  2.00000000000000000e+00 
x:  2.00000000000000000e+00   z:  2.00000000000000000e+00 
x:  2.00000000000000044e+00   z:  2.00000000000000000e+00 
x: 1.79769313486231551e+308   z: 1.79769313486231551e+308 
x: 1.79769313486231571e+308   z: 1.79769313486231571e+308 
x:                      inf   z:                      inf 
x:                      nan   z:                      nan 
x:                      nan   z:                      nan 
x:                      nan   z:                      nan 

Answer 4

float數據類型可以表示所有整數，但不包含分數，范圍在8388608.0f到16777216.0f之間。 任何float號碼這比8388607.5f較大是整數，並且沒有舍入將是必要的。 將8388608.0f添加到任何小於該值的非負float將產生一個整數，該數字將根據當前的舍入模式（通常為半舍入到偶數）進行舍入。 減去8388608.0f然后將產生原始的正確圓形版本（假設它在合適的范圍內）。

因此，應該可以做類似的事情：

float round(float f)
{
  if (!(f > -8388608.0f && f < 8388608.0f)) // Return true for NaN
    return f;
  else if (f > 0)
    return (float)(f+8388608.0f)-8388608.0f;
  else
    return (float)(f-8388608.0f)+8388608.0f;
}

並利用添加的自然舍入行為，而不必使用任何其他“舍入到整數”設施。

Answer 5

以下是遵循IEEE舍入標准的半圓到偶數程序的簡單實現。

邏輯：錯誤= 0.00001

1. 數= 2.5
2. temp = floor（2.5）％2 = 2％2 = 0
3. x = -1 + temp = -1
4. x *錯誤+數字= 2.40009
5. 圓（2.40009）= 2

注意：此處的錯誤為0.00001，即如果發生2.500001，則它將舍入為2而不是3

Python 2.7實現：

temp = (number)     
rounded_number = int( round(-1+ temp%2)*0.00001 + temp )

C ++實現:(使用math.h作為floor函數）

float temp = (number)     
int rounded_number = (int)( (-1+ temp%2)*0.00001 + temp + 0.5)

這將給出的輸出如下。 標准：

（3.5） - > 4

（2.5） - > 2

---

編輯1：正如@Mark Dickinson在評論中指出的那樣。 可以根據代碼中的要求修改錯誤以使其標准化。 對於python，要將其轉換為可能的最小浮點值，您可以執行以下操作。

import sys
error = sys.float_info.min

Answer 6

從C ++ 11開始，STL中有一個函數可以進行半舍入舍入。 如果浮點舍入模式設置為FE_TONEAREST （默認值），則std::nearbyint將執行此操作。

std :: nearbyint的C ++參考