超級丑數

Question

所以問題是：

編寫程序找出第n個超級丑數。

超級丑數是所有質因數都在給定的大小為 k 的質數列表質數中的正數。 例如，[1, 2, 4, 7, 8, 13, 14, 16, 19, 26, 28, 32] 是給定素數 = [2, 7, 13, 19] 的前 12 個超級丑數的序列大小為 4。

所以我的算法基本上使用它們遵循的模式找到所有可能的因素，將它們推送到一個數組，對該數組進行排序，然后返回數組中的第 n 個值。 它准確地計算了所有這些，但是，對於高第 n 個值來說太慢了。

我的問題是這樣做的正確方法是什么，因為我確信必須有一個更直接的解決方案。 我很好奇找到它背后的理論，以及是否有某種封閉的公式。

 var nthSuperUglyNumber = function(n, primes) {
     xprimes = primes;
     var uglies = [1];
     uglies = getUglyNumbers(n, primes, uglies);
     // return uglies[n-1];
     return uglies[n - 1];
 };

 //                     3                         4
 //1, 2,3,5, || 4,6,10, 9,15, 25, || 8,12,20,18,30,50, 27,45,75, 125 ||
 //   3,2,1     6,3,1,               10,4,1
 //              1            1              1
 //1, 2,3 || 4,6, 9, || 8,12,18, 27 || 16,24,36,54, 81
 //   2,1    3,1        4,1            5,1
 //
 //1, 2,3,5,7 || 4,6,10,14 9,15,21 25,35, 49 ||
 //   4,3,2,1 || 10,6,3,1

 var getUglyNumbers = function(n, primes, uglies) {
     if (n == 1) {
         return uglies;
     }
     var incrFactor = [];

     var j = 0;
     // Initial factor and uglies setup
     for (; j < primes.length; j += 1) {
         incrFactor[j] = primes.length - j;
         uglies.push(primes[j]);
     }

     //recrusive algo
     uglies = calcUglies(n, uglies, incrFactor);
     uglies.sort(function(a, b) {
     return a - b;
     });
     return uglies;
 };

 var calcUglies = function(n, uglies, incrFactor) {
     if (uglies.length >= 5 * n) return uglies;
     var currlength = uglies.length;
     var j = 0;
     for (j = 0; j < xprimes.length; j += 1) {
         var i = 0;
         var start = currlength - incrFactor[j];
         for (i = start; i < currlength; i += 1) {
             uglies.push(xprimes[j] * uglies[i]);
         }
     }
     // Upgrades the factors to level 2
     for (j = 1; j < xprimes.length; j += 1) {
         incrFactor[xprimes.length - 1 - j] = incrFactor[xprimes.length - j] + incrFactor[xprimes.length - 1 - j];
     }

     return calcUglies(n, uglies, incrFactor);
 };

Answer 1

public static ArrayList<Integer> superUgly(int[] primes,int size)
{
    Arrays.sort(primes);
    int pLen = primes.length;

    ArrayList<Integer> ans = new ArrayList<>();
    ans.add(1);

    PriorityQueue<pair> priorityQueue = new PriorityQueue<>(Comparator.comparingInt(p -> p.value));
    HashSet<Integer> hashSet = new HashSet<>();

    int next_ugly_number;
    int[] indices = new int[pLen];

    for(int i=0;i<pLen;i++) {
        hashSet.add(primes[i]);
        priorityQueue.add(new pair(i,primes[i]));
    }

    while(ans.size()!=size+1)
    {
        pair pair = priorityQueue.poll();
        next_ugly_number = pair.value;
        ans.add(next_ugly_number);
        indices[pair.index]+=1;

        int temp = ans.get(indices[pair.index])*primes[pair.index];
        if (!hashSet.contains(temp))
        {
            priorityQueue.add(new pair(pair.index,temp));
            hashSet.add(temp);
        }
        else {
            while(hashSet.contains(temp))
            {
                indices[pair.index]+=1;
                 temp = ans.get(indices[pair.index])*primes[pair.index];

            }
            priorityQueue.add(new pair(pair.index,temp));
            hashSet.add(temp);

        }

    }

    ans.remove(0);
    return ans;
}

對類是

class pair
{
    int index,value;
    public pair(int i,int v)
    {
        index = i;
        value = v;
    }
}

它返回一個大小為“大小”的丑陋數字列表。
我正在使用優先級隊列來為每個循環找到最小值，並使用一個哈希集來避免優先級隊列中的重復條目。
所以它的時間復雜度是O(n log(k)) ，其中n是大小， k是素數數組大小。

Answer 2

這是我可以使用 Python 中的動態編程編寫的最佳解決方案。

時間復雜度：O(n * k)

空間復雜度：O(n)

from typing import List


def super_ugly_numbers(n: int, primes: List[int]) -> int:
    # get nth super ugly number
    ugly_nums = [0] * n
    ugly_nums[0] = 1
    length = len(primes)
    mul_indices = [0] * length
    multipliers = primes[:]

    for index in range(1, n):
        ugly_nums[index] = min(multipliers)

        for in_index in range(length):
            if ugly_nums[index] == multipliers[in_index]:
                mul_indices[in_index] += 1
                multipliers[in_index] = ugly_nums[mul_indices[in_index]] * primes[in_index]

    return ugly_nums[n-1]

Answer 3

該算法對於較大的n表現更好。

primes := {2, 7, 13, 19}
set list := {1}
for i in 1..n-1:
  set k = list[0]
  for p in primes:
    insert p*k into list unless p*k is in list
  remove list[0] from list
return list[0]

如果按順序插入很困難，您可以將元素插入到列表的最后並在刪除列表 [0] 后對列表進行排序。

Answer 4

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;
public  class Solution{

    public static void main(String[] args) {
        Scanner fi = new Scanner(System.in);
        int n=fi.nextInt();
        int i;
        int primes[] ={2,3,5};
        HashSet<Integer> hm=new HashSet<>();
        PriorityQueue<Integer> pq=new PriorityQueue<>();
        TreeSet<Integer> tr=new TreeSet<>();
        tr.add(1);
        pq.add(1);
        hm.add(1);

        for (i=0;i<primes.length;i++){
            tr.add(primes[i]);
            pq.add(primes[i]);
            hm.add(primes[i]);
        }
        int size=tr.size();
        while (size < n){
            int curr=pq.poll();
            for (i=0;i<primes.length;i++){
                if (!hm.contains(curr*primes[i])) {
                    tr.add(curr * primes[i]);
                    hm.add(curr*primes[i]);
                    pq.add(curr*primes[i]);
                    size++;
                }
            }

        }
        System.out.println(tr);
    }
}

這可能有助於 TreeSet 按排序順序維護元素，因此需要擔心索引。