如何比較兩個復數？

Question

在C中，復數是浮點數或雙精度數，並且與規范類型具有相同的問題：

#include <stdio.h>
#include <complex.h>

int main(void)
{
    double complex a = 0 + I * 0;
    double complex b = 1 + I * 1;

    for (int i = 0; i < 10; i++) {
        a += .1 + I * .1;
    }

    if (a == b) {
        puts("Ok");
    }
    else {
        printf("Fail: %f + i%f != %f + i%f\n", creal(a), cimag(a), creal(b), cimag(b));
    }

    return 0;
}

結果：

$ clang main.c
$ ./a.out 
Fail: 1.000000 + i1.000000 != 1.000000 + i1.000000

我試試這個語法：

a - b < DBL_EPSILON + I * DBL_EPSILON

但編譯器討厭它：

main.c:24:15: error: invalid operands to binary expression ('_Complex double' and '_Complex double')
    if (a - b < DBL_EPSILON + I * DBL_EPSILON) {
        ~~~~~ ^ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

這最后工作正常，但它有點挑剔：

fabs(creal(a) - creal(b)) < DBL_EPSILON && fabs(cimag(a) - cimag(b)) < DBL_EPSILON

Answer 1

您可以計算其差值的復數絕對值（也稱為范數 ， 模數或幅度 ），而不是比較復數分量，即復平面上兩者之間的距離：

if (cabs(a - b) < DBL_EPSILON) {
    // complex numbers are close
}

即使沒有精度問題，小的復數也會接近零，這個問題也存在於實數中。

Answer 2

比較2個復數浮點數非常類似於比較2個實數浮點數。

比較精確等價通常是不夠的，因為涉及的數字包含小的計算錯誤。

所以而不是if (a == b)代碼需要if (nearlyequal(a,b))

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通常的方法是double diff = cabs(a - b) ，然后將diff與一些小的常量值diff ，如DBL_EPSILON 。

當a,b為大數時a,b這會失敗 a,b因為它們的差異可能比DBL_EPSILON大許多個數量級，即使a,b僅與它們的最低有效位不同。

對於小數字也是如此，因為a,b之間的差異可能相對較大，但是比DBL_EPSILON小許多個數量級，因此當值相對完全不同時返回true 。

復數實際上在問題上增加了另一個維度問題，因為實部和虛部本身可能會有很大不同。 因此， nearlyequal(a,b)的最佳答案高度依賴於代碼的目標。

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為簡單起見，讓我們使用差異的大小與a,b的平均大小進行比較。 控制常數ULP_N近似於允許a,b不同的最小重要性的二進制數字的數量。

#define ULP_N 4

bool nearlyequal(complex double a, complex double b) {
  double diff = cabs(a - b);
  double mag = (cabs(a) + cabs(b))/2;
  return diff <= (mag * DBL_EPSILON * (1ull << ULP_N));
}

Answer 3

由於復數表示為浮點數，因此必須處理它們固有的不精確性 。 如果浮點數位於機器epsilon內，則它們“足夠接近”。

通常的方法是減去它們，取絕對值，然后看它是否足夠接近。

#include <complex.h>
#include <stdbool.h>
#include <float.h>

static inline bool ceq(double complex a, double complex b) {
    return cabs(a-b) < DBL_EPSILON;
}