是否可以在 O(n) 中計算字符串中不同子串的數量？

Question

給定一個長度為n的字符串s ，是否可以在 O(n) 中計算出s中不同子串的數量？

例子

輸入： abb

輸出： 5 ( 'abb', 'ab', 'bb', 'a', 'b' )

我做了一些研究，但我似乎找不到以如此有效的方式解決這個問題的算法。 我知道 O(n^2) 方法是可能的，但是有更有效的算法嗎？

我不需要獲取每個子字符串，只需要獲取不同子字符串的總數（以防有所不同）。

Answer 1

您可以使用 Ukkonen 算法在線性時間內構建后綴樹：

https://en.wikipedia.org/wiki/Ukkonen%27s_algorithm

s 的子字符串數就是 trie 中字符串的前綴數，您可以在線性時間內簡單地計算出來。 它只是所有節點中的字符總數。

例如，您的示例生成如下后綴樹：

            /\                
           b  a
           |  b
           b  b

樹中有 5 個字符，所以有 5 個子字符串。 每個唯一的字符串都是從根開始的路徑，以不同的字母結尾：abb、ab、a、bb、b。 所以字符串的數量就是樹中字母的數量。

更確切地說：

• 每個子串都是字符串的某個后綴的前綴；
• 所有的后綴都在trie中；
• 所以通過trie的子串和路徑是一一對應的（根據trie的定義）； 和
• 樹中的字母與非空路徑是一一對應的，因為：
  • 每個不同的非空路徑在其最后一個字母之后的不同位置結束； 和
  • 每個字母后面的位置的路徑是唯一的

對於想知道如何在 O(N) 時間內構建包含 O(N^2) 個字符的樹的人們請注意：

后綴樹的表示有一個技巧。 不是將實際字符串存儲在樹的節點中，而是將指針存儲到原始字符串中，因此包含“abb”的節點沒有“abb”，它有 (0,3) -- 每個 2 個整數節點，不管每個節點中的字符串有多長，后綴樹有O(N)個節點。

Answer 2

構造LCP 數組並從子串數 (n(n+1)/2) 中減去它的總和。