如何知道以下快照的時間和空間復雜性？

Question

我了解以下快照中的代碼是如何工作的，但我很好奇我如何知道它的時間和空間復雜性？

我知道這取決於“ b”變為零所花費的時間。 有什么數學方法可以找到這個嗎？ 我知道這絕不會涉及數百萬次遞歸。 但是仍然好奇會發生多少次遞歸？

問題：加2個數字而不使用任何算術運算-

Answer 1

這就像一個漣波進位加法器（但它神奇地“知道”輸出何時穩定並提前提取）。 在每一步中，進位都將嚴格增加最低設置位的位置（如果沒有最低設置位，則無窮大）。 因此，每個位最多可以遞歸一次。 表示多少時間/空間取決於您的假設（將位數作為常數會產生無用的結果，從而使您無法將其與替代實現進行比較）。

顯然，這是一個尾部調用，可以將其重寫為循環，因此可以說，它占用的空間比假裝它實際使用了所有堆棧空間的空間要小。

同樣，可以以與位數相同的多個步長進行此操作，類似於Kogge-Stone加法器。

Answer 2

由於進位是a＆b左移，因此其bit-0（最低有效位或LSB）為零。 同樣，進位在每個位置p都為零，而b在位置p-1上為零。 這意味着在第一個遞歸調用中，b的位為零，而在第二個遞歸調用中，其第0位和第1位的位為零（2個LSB為零），依此類推。 在第n個遞歸調用中，b將具有n個LSB為0，因此當n是a中最高有效非零位的位置時，進位將為零，並且遞歸將在下一個調用中結束。

因此，時間復雜度為O（n），其中n是a中的位數（更准確地說，是a中最高有效非零位的位置，在最壞的情況下，它將是a中的位數） 。 空間復雜度也是O（n），因為存在n個遞歸調用，但是由於這是尾部遞歸，因此可以將其優化掉，因此優化后的空間復雜度將是O（1）。