艱難的遞歸任務

Question

作為測試准備的一部分，我一直在努力解決問題，我想我可以使用你的幫助。 我需要編寫一個布爾方法，它接受帶有整數的數組（正數和負數），如果數組可以拆分為兩個等於組，則返回true，即每個組的數量等於另一個數組。 例如，對於這個數組：

int[]arr = {-3, 5, 12, 14, -9, 13};

該方法將返回true，因為-3 + 5 + 14 = 12 + -9 + 13。

對於這個數組：

int[]arr = {-3, 5, -12, 14, -9, 13};

該方法將返回false，因為即使-3 + 5 + 14 + -12 = -9 + 13，等式的每一側的數字量也不等於。

對於數組：

int[]arr = {-3, 5, -12, 14, -9};

該方法將返回false，因為數組長度不均勻。

該方法必須是遞歸的，允許重載，每個輔助方法也必須遞歸，我不需要擔心復雜性。

我一直試圖解決這個問題三個小時，我甚至都沒有顯示代碼，因為我所做的所有事情都遠非解決方案。

如果有人至少可以給我一些偽代碼，那就太棒了。

非常感謝你！

Answer 1

描述的問題是分區問題的一個版本。 首先請注意，您的公式相當於決定是否存在輸入的子集，其總和高達所有元素總和的一半（需要為整數，否則實例無法求解，但這很容易校驗）。 基本上，在每個遞歸步驟中，要確定是否要將第一個數字選擇到子集中，從而導致不同的遞歸調用。 如果n表示元素的數量，則必須有n/2 （需要再次積分）項目。

令Sum表示輸入的總和，並且令Target := Sum / 2 ，其在后續中被假定為積分。 如果我們讓

f(arr,a,count) := true
                  if there is a subset of arr summing up to a with
                  exactly count elements
                  false
                  otherwise

我們獲得以下遞歸

f(arr,a,count) = (arr[0] == a && count == 1)
                 ||
                 (a == 0 && count == 0)
                 if arr contains only one element
                 f(arr\arr[0], a, count)
                 ||
                 f(arr\arr[0], a - arr[0], count -1)
                 if arr contains more than one element

在哪里|| 表示邏輯消除， &&表示邏輯連接， \\表示元素的刪除。 非單例數組的兩種情況對應於將arr的第一個元素選擇為所需子集或其相對補碼。 請注意，在實際實施中， a不會真正從數組中刪除; 一個起始索引（用作附加參數）將初始化為0並在每次遞歸調用中增加，最終到達數組的末尾。

最后， f(arr,Target,n/2)產生所需的值。

Answer 2

您要求使用偽代碼，但有時將其編寫為Java也同樣簡單明了。

該解決方案的一般思想是嘗試將每個數字添加到等式的左側或右側。 它跟蹤遞歸中每一步的每一側的計數和總和。 評論中有更多解釋：

class Balance {
  public static void main(String[] args) {
    System.out.println(balanced(-3, 5, 12, 14, -9, 13));   // true
    System.out.println(balanced(-3, 5, -12, 14, -9, 13));  // false
  }

  private static boolean balanced(int... nums) {
    // First check if there are an even number of nums.
    return nums.length % 2 == 0
        // Now start the recursion:
        && balanced(
            0, 0,  // Zero numbers on the left, summing to zero.
            0, 0,  // Zero numbers on the right, summing to zero.
            nums);
  }

  private static boolean balanced(
      int leftCount, int leftSum,
      int rightCount, int rightSum,
      int[] nums) {
    int idx = leftCount + rightCount;
    if (idx == nums.length) {
      // We have attributed all numbers to either side of the equation.
      // Now check if there are an equal number and equal sum on the two sides.
      return leftCount == rightCount && leftSum == rightSum;
    } else {
      // We still have numbers to allocate to one side or the other.
      return
          // What if I were to place nums[idx] on the left of the equation?
          balanced(
              leftCount + 1, leftSum + nums[idx],
              rightCount, rightSum,
              nums)
          // What if I were to place nums[idx] on the right of the equation?
          || balanced(
              leftCount, leftSum,
              rightCount + 1, rightSum + nums[idx],
              nums);
    }
  }
}

這只是第一個想法的解決方案。 它是O（2 ^ n），對於大n來說顯然相當慢，但是對於你給出的問題的大小來說這很好。

Answer 3

您的策略應該是嘗試所有可能的組合。 我將嘗試記錄如何實現這一目標。

注意我認為要求：讓每個函數都使用遞歸有點困難，因為我會通過省略一些幫助函數來解決這個問題，這些函數使得代碼更具可讀性，所以在這種情況下我不會這樣做。

通過遞歸，您總是希望向最終解決方案發展，並檢測您何時完成。 所以我們在函數中需要兩個部分：

1. 遞歸步驟：為此我們將獲取輸入集的第一個元素，並嘗試如果我們將它添加到第一個集合會發生什么，如果找不到解決方案，我們將嘗試將它添加到第二集。
2. 檢測我們何時完成，即輸入集為空時，在這種情況下，我們要么找到了解決方案，要么我們沒有找到解決方案。

我們的第一步中的一個技巧是，在獲取集合的第一個元素之后，如果我們嘗試對余數進行分區，我們不希望這兩個集合相等，因為我們已經將第一個元素分配給其中一個集合。

這導致了遵循此策略的解決方案：

public boolean isValidSet(MySet<int> inputSet, int sizeDifferenceSet1minus2)
{
    if (inputSet.isEmpty())
    {
         return sizeDifferenceSet1minus2== 0;
    }

    int first = inptuSet.takeFirst();
    return isValidSet(inputSet.copyMinusFirst(), sizeDifferenceSet1minus2+ first)
              || isValidSet(inputSet.copyMinusFirst(), sizeDifferenceSet1minus2+ -1 * first);
}

此代碼需要一些您仍需要實現的幫助功能。

它的作用是首先測試我們是否已達到結束條件，如果是，則返回此分區是否成功。 如果我們仍然在集合中留下了元素，我們會嘗試如果將它添加到第一個集合中會發生什么，然后將其添加到第二個集合時會發生什么。 請注意，我們實際上並沒有跟蹤集合，我們只是跟蹤集合1減去2之間的大小差異，減少（但您可以傳遞兩個集合）。

另請注意，要使此實現起作用，您需要復制輸入集而不是修改它！

對於一些背景信息：這個問題被稱為分區問題 ，它以NP完全着稱（這意味着它可能無法有效地解決大量輸入數據，但很容易驗證分區確實是一個解決方案。