Agda的Haskell派生機制

Question

我想知道Agda中是否有類似於Haskell deriving Eq子句的東西---那么我下面也有一個相關的問題。

例如，假設我有玩具語言的類型，

data Type : Set where
  Nat  : Type
  Prp : Type

然后我可以通過模式匹配和Cc Ca實現可判定的相等性，

_≟ₜ_ : Decidable {A = Type} _≡_
Nat ≟ₜ Nat = yes refl
Nat ≟ₜ Prp = no (λ ())
Prp ≟ₜ Nat = no (λ ())
Prp ≟ₜ Prp = yes refl

我很好奇這是否可以機械化或自動化，以某種方式類似於在Haskell中完成的方式：

data Type = Nat | Prp deriving Eq

謝謝！

雖然我們討論類型的主題，但我想實現我的正式類型為Agda類型：Nat只是自然數，而Prp是小命題。

⟦_⟧Type : Type → Set ?
⟦ Nat ⟧Type = ℕ
⟦ Prp ⟧Type = Set

可悲的是，這不起作用。 我嘗試通過提升解決這個問題但失敗了，因為我對如何使用水平提升沒有任何線索。 任何幫助表示贊賞！

上述函數的一個示例用法是，

record InterpretedFunctionSymbol : Set where
  field
   arity   : ℕ
   src tgt : Type
   reify   : Vec ⟦ src ⟧Type arity → ⟦ tgt ⟧Type

謝謝你讓我感到羞恥！

Answer 1

“數據類型的宇宙學 ”中的“7.3.2。數據類型的派生操作”一章顯示了如何使用描述推導操作。 雖然，派生的Eq在那里相當弱。

基本思想是使用一些一階編碼表示數據類型，即根據某些通用數據類型，並定義對此數據類型的操作，因此根據它編碼的所有內容都可以由這些通用操作處理。 我在這里詳細介紹了這種機器的簡單版本。

如果你有一個封閉的宇宙，你可以得到一個更強的Eq 。 使用類似於描述的方法（應該同樣具有表現力，但我沒有檢查）和封閉的宇宙我在這里定義了通用show ，它允許例如在命名構造函數后打印元組的向量：

instance
  named-vec : {A : Type} -> Named (vec-cs A)
  named-vec = record { names = "nil" ∷ "cons" ∷ [] }

test₂ : show (Vec (nat & nat) 3 ∋ (7 , 8) ∷ᵥ (9 , 10) ∷ᵥ (11 , 12) ∷ᵥ []ᵥ)
      ≡ "(cons 2 (7 , 8) (cons 1 (9 , 10) (cons 0 (11 , 12) nil)))"
test₂ = prefl

其中Vec是根據類似於Desc數據類型定義的。 Eq案例應該類似，但更復雜。

以下是Lift使用方法：

⟦_⟧Type : Type → Set₁
⟦ Nat ⟧Type = Lift ℕ
⟦ Prp ⟧Type = Set

ex₁ : ∀ A -> ⟦ A ⟧Type
ex₁ Nat = lift 0
ex₁ Prp = ℕ

ex₂ : ∀ A -> ⟦ A ⟧Type -> Maybe ℕ
ex₂ Nat n = just (lower n) -- or (ex₂ Nat (lift n) = just n)
ex₂ Prp t = nothing

如果A : Set α然后Lift A : Set (α ⊔ ℓ)任何ℓ 。 所以，當你有ℕ : Set和Set : Set₁ ，要解除ℕ從Set到Set₁ ，這是剛剛Lift ℕ -在簡單的情況下，你不需要提供ℓ明確。

要構建包含在Lift中的數據類型的元素，請使用lift （如在lift 0 ）。 要使這個元素恢復原狀，你可以使用lower元素，因此lift和lower是相互反轉的。 注意雖然lift (lower x)不一定與x在同一個宇宙中，因為lift (lower x) “刷新” ℓ 。

更新 ：現在show鏈接已斷開（我應該使用永久鏈接）。 但是現在有一個更好的例子： 整個庫為常規Agda數據類型派生Eq 。

Answer 2

有關在Agda中“派生Eq”的實際實現，您可以在https://github.com/UlfNorell/agda-prelude上查看Ulf的agda-prelude。 特別是，模塊Tactic.Deriving.Eq包含用於為一般類（簡單和索引）數據類型自動生成可判定等式的代碼。