從此遞歸公式中減去時間復雜度？

Question

我正在閱讀有關SO的時間復雜度計算相關問題，但我無法在此處發表評論（代表人數不足）。 此回文式分割算法的時間復雜度是多少？

我有一個關於從第一方程式轉到第二方程式的問題：

現在，您可以為H（n-1）編寫相同的表達式，然后代回以簡化操作：

H（n）= 2 H（n-1）+ O（n）=========>等式1

這解決了

H（n）= O（n * 2 ^ n）=========>等式2

有人可以說明他是如何從等式1得到等式2的嗎？ 謝謝。

Answer 1

等式1.是一個遞歸關系 。 請參閱該鏈接以獲取有關如何求解這些類型的方程式的教程，但我們可以通過以下擴展進行求解：

H(n) = 2H(n-1) + O(n)
H(n) = 2*2H(n-2) + 2O(n-1) + O(n)
H(n) = 2*2*2H(n-3) + 2*2O(n-2) + 2O(n-1) + O(n)
...
H(n) = 2^n*H(1) + 2^(n-1)*O(1) + ... + 2O(n-1) + O(n)

since H(1) = O(n) (see the original question)
H(n) = 2^n*O(n) + 2^(n-1)*O(1) + ... + 2O(n-1) + O(n)
H(n) = O(n * 2^n)

Answer 2

在這種簡單的情況下，只需將常數添加到每一側，就需要使方程均勻化。 首先，指定O（n）= K，以避免在此階段使用O表示法：

H（n）= 2 H（n-1）+ K

然后在每邊加一個K：

H（n）+ K = 2（H（n-1）+ K）

令G（n）= H（n）+ K，則

G（n）= 2 G（n-1）

這是眾所周知的齊次一階遞歸

G（n）= G（0）×2 ⁿ = G（1）×2 ^n-1

由於H（1）= O（n），所以G（1）= H（1）+ K = O（n）+ O（n）= O（n），

G（n）= O（n）×2 ^n-1 = O（n×2 ^n-1 ）= O（n×2 ⁿ ）

和

H（n）= G（n）-K = O（n×2 ⁿ ）-O（n）= O（n×2 ⁿ ）

Answer 3

他們錯了。

假設O表示一個緊邊界，並用c * n替換O(n)某個常數c 。 展開遞歸，您將獲得：

完成展開遞歸后， n = i和b = T(0) 。

現在求和：

總結一下，您將獲得：

所以現在很清楚T(n)是O(2^n)而沒有任何n

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對於仍對數學持懷疑態度的人：

• F（n）= 2F（n-1）+ n的解
• F（n）= 2F（n-1）+ 99n的解