如何以較低的復雜度計算二叉樹的深度？

Question

給定一個二叉搜索樹t，很容易使用遞歸來獲得其深度，如下所示：

def node_height(t):     
    if t.left.value == None and t.right.value == None:
        return 1
    else:
        height_left = t.left.node_height()
        height_right = t.right.node_height()
        return ( 1 + max(height_left,height_right) )

但是，我注意到它的復雜度呈指數增長，因此當我們有一棵深樹時，它的性能將非常糟糕。 有沒有更快的算法可以做到這一點？

Answer 1

如果將高度作為字段存儲在Node對象中，則可以在將節點添加到樹中時加1（並在刪除過程中減去）。

這將使操作保持恆定的時間來獲取任何節點的高度，但會在添加/刪除操作中增加一些額外的復雜性。

Answer 2

這種擴展來自@ cricket_007在他的回答中提到的內容。

因此，如果執行( 1 + max(height_left,height_right) ) ，最終將不得不訪問每個節點，這實際上是O（N）操作。 對於帶有平衡樹的平均情況，您將看到類似T(n) = 2T(n/2) + Θ(1) 。

現在，如果您可以存儲某個節點的高度，則可以將其改進為O（1）的時間。 在這種情況下，樹的高度將等於根的高度。 因此，您需要對insert(value)方法進行修改。 開始時，根的默認高度為0。要添加的節點的高度為0。對於嘗試添加此新節點時遇到的每個節點，如果需要，將node.height增加1，並確保它設置為1 + max（左孩子的身高，右孩子的身高）。 因此，height函數將僅返回node.height，從而允許常量time 。 插入的時間復雜度也不會改變； 我們只需要一些額外的空間來存儲n整數值，其中n是節點數。

顯示以下內容有助於理解我要說的內容。

          5 [0]

- insert 2 [increase height of root by 1]

          5 [1]
         / 
        /   
   [0] 2 

- insert 1 [increase height of node 2 by 1, increase height of node 5 by 1]

          5 [2]
         / 
        /   
   [1] 2    
      / 
     /   
[0] 1  

- insert 3 [new height of node 2 = 1 + max(height of node 1, height of node 3) 
                                 = 1 + 0 = 1; height of node 5 also does not change]

          5 [2]
         / 
        /   
   [1] 2     
      / \
     /   \
[0] 1     3 [0]

- insert 6 [new height of node 5 = 1 + max(height of node 2, height of node 6) 
                                 = 1 + 1 = 2]

          5 [2]
         / \
        /   \
   [1] 2     6 [0]
      / \
     /   \
[0] 1     3 [0]