尋找大數的斐波那契數

Question

我編寫了以下程序來查找大斐波那契數的模數。 這可以解決大量問題，但在fibo_dynamic(509618737,460201239,229176339)這樣a = 509618737情況下無法計算，其中a = 509618737 ， b = 460201239和N = 229176339 。 請幫助我完成這項工作。

long long  fibo_dynamic(long long  x,long long  y,long long  n, long long a[]){
    if(a[n]!=-1){
         return a[n];
    }else{
        if(n==0){
            a[n]=x;
            return x;
        }else if(n==1){
            a[n]=y;
            return y;
        }else {
            a[n]=fibo_dynamic(x,y,n-1,a)+fibo_dynamic(x,y,n-2,a);
            return a[n];
        }
    }
}

Answer 1

這些值將溢出，因為斐波那契數迅速增加。 即使對於原始的斐波那契數列（其中f(0) = 0和f(1) = 1 ）， f(90)的值也超過20位，並且不能以C ++的任何原始數據類型存儲。 您可能應該使用模運算符（因為您在問題中提到了它）將值保持在這樣的范圍內：

a[n] = (fibo_dynamic(x,y,n-1,a) + fibo_dynamic(x,y,n-2,a)) % MOD;

它是安全的mod在每一個階段的價值，因為mod操作有以下規則：

if a = b + c, then:
a % n = ((b % n) + (c % n)) % n

同樣，您已經使用了遞歸版本來計算斐波那契數（盡管您已經記住了較小的子問題的結果）。 這意味着將有很多遞歸調用，這增加了額外的開銷。 如果可能，最好使用迭代版本。

接下來，您將使用變量n索引數組。 因此，我假設數組a的大小至少為n 。 問題中提到的n的值非常大。 您可能無法在本地計算機中聲明如此大的數組（考慮整數為4 bytes ，數組a的大小約為874 MB ）。

最后，程序的復雜度為O(n) 。 有一種技術可以計算O(log(n))時間中的第O(log(n))斐波那契數。 它是“使用矩陣冪求解遞歸關系”。 斐波那契數遵循以下線性遞歸關系：

f(n) = f(n-1) + f(n-2)   for n >= 2

閱讀本文以了解技術。