c ++在階乘中的大數

Question

我正在嘗試制作一個問題的程序“給定一個正整數a ，最小正整數g是多少，這樣g！是a的平方的倍數！

樣本輸入

1（測試用例）

4

樣本輸出

8

說明：8！= 40320可被4整除！^ 2 = 24 ^ 2 = 576。 此外，它是最小的一個，因為7！= 5040不能被576整除。

該程序是成功的，但是當輸入大於20時我遇到了麻煩。它不輸出任何東西。

有什么建議么？

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;


int main() {
long long a,b,c=1,d,e=1,f=1,g=0,k;
cin>>a;
while(a>0){
    cin>>b;
    g=0;
    e=1;
    c=1;
    f=1;
    for (long long i=1; i<=b; i++){
        c=c*i;
    }
    d=c*c;
    for(long long j=1; e!=0; j++){
        f=f*j;
        g=g+2;
        e=f%d;
        if(c==e)
        cout<<g<<endl;
    }
    a--;
}
return 0;

}

Answer 1

對於值大於20的所有輸入，蠻力將導致整數溢出。我得到了一個更好的解決方案，其時間復雜度為O(T) ，其中T = number of test cases並使用常量空間。

解決方案： 對於所有a， g值將等於2*a a 。

         (a!)^2 = (a!)*a*(a-1)*(a-2)*..3*2*1

我們的目標是以g!的形式制作(a!)*a*(a-1)*(a-2)*..3*2*1 g! 乘以所需的最小可能整數。

如果我們乘2與各a,a-1,a-2,...,3,2,1 ，那么我們將得到

        (a!)*2a*(2a-2)*(2a-4)*..6*4*2

這太接近而不能成為整數的階乘。 現在讓它等於2*a!是微不足道2*a! 。

直到現在我們得到一個可以被(a^2)!整除的數字(a^2)! 但是我們不知道這是否會是最小的整數。

這個2a將是最小的數字，因為你在(a^2)!有兩次1s,2s,3s,4s,...,ns (a^2)! 所有這些應該存在於g! as (a^2)! 划分g! 。 這個論證證明2*a是最小的這樣的整數。

Answer 2

有什么建議么？

避免廣泛的數學。

---

肯定會出現g >= a ，所以....

a! 是g!一個因素g! 和a! 是一個square(a!)因子square(a!) ，所以我們可以簡化問題。 將兩邊划分為a!

g!/a! = 1 *  a+1 * a+2 * ... * g
square(a!)/a! = a!

現在找到最小的g ，使得(a+1 * a+2 * ... * g) % a! == 0 (a+1 * a+2 * ... * g) % a! == 0

這些a+1, a+2, ..., g中的每a!都可能有一個因素a! 。 必須在時間g達到2a時找到解決方案，但可能更快。 隨着每個術語的發現，將其排除在外a! 並測試mod-ness這使得對寬整數的需求降至最低。

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像下面這樣的東西。 不幸的是我現在無法測試它。 IAC，OP正在尋找建議，而不是代碼。

unsigned SOPP_LargeFactor(unsigned a) {
  unsigned i = 1;
  unsigned long long prod = 1;
  for (unsigned g=a+1; ; g++) {
    prod *= g;
    while (prod%i == 0) {
      if (i == a) return g;
      prod /= i;
      i++; 
    }
  }
}

Answer 3

g！= k·a！ ² 。 在一些分解后，k =（a + 1）（a + 2）... g /（2 * 3 * 4 ... a）

如果k是整數，則意味着可以找到具有整數結果的除法。 更多，所有分區必須是整數。

首先，將分子和分母分解為素數因子。 即7！ = 7·6·5·4·3·2 = 7·5·3 ² ·2 ⁴

然后，如果g是解，則必須在分子中找到所有分母因子（例如，分子中的3 ⁵包括分母中的3 ² ），因此可以取消。 將分子中的其余因子相乘只需給出k，這是不需要的。

您可以設置循環以測試幾個g，直到滿足此條件。 我會存儲素數及其指數，因此取消是指數減少的問題。

最后，不涉及大數計算。 g僅受sizeof（long）的限制。