具有兩個遞歸調用的遞歸算法的時間復雜度

Question

我正在嘗試分析一種遞歸算法的時間復雜度，該算法可解決生成漢明距離t問題內的所有位序列 。 算法是這樣的：

// str is the bitstring, i the current length, and changesLeft the
// desired Hamming distance (see linked question for more)
void magic(char* str, int i, int changesLeft) {
        if (changesLeft == 0) {
                // assume that this is constant
                printf("%s\n", str);
                return;
        }
        if (i < 0) return;
        // flip current bit
        str[i] = str[i] == '0' ? '1' : '0';
        magic(str, i-1, changesLeft-1);
        // or don't flip it (flip it again to undo)
        str[i] = str[i] == '0' ? '1' : '0';
        magic(str, i-1, changesLeft);
}

該算法的時間復雜度是多少？

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我對此感到非常生銹，這是我的嘗試，我覺得這與事實不符：

t(0) = 1
t(n) = 2t(n - 1) + c
t(n) = t(n - 1) + c
     = t(n - 2) + c + c
     = ...
     = (n - 1) * c + 1
    ~= O(n)

其中n是位串的長度。

相關的問題： 1 ， 2 。

Answer 1

它是指數的 ：

t(0) = 1
t(n) = 2 t(n - 1) + c
t(n) = 2 (2 t(n - 2) + c) + c          = 4 t (n - 2) + 3 c
     = 2 (2 (2 t(n - 3) + c) + c) + c  = 8 t (n - 3) + 7 c
     = ...
     = 2^i t(n-i) + (2^i - 1) c         [at any step i]
     = ...
     = 2^n t(0) + (2^n - 1) c          = 2^n + (2^n - 1) c
    ~= O(2^n)

或者，使用WolframAlpha： https ://www.wolframalpha.com/input/ ? i = t(0)%3D1,+t(n)%3D2+t(n-1)+%2B+c

它呈指數級的原因是您的遞歸調用將問題大小減小了1，但是您要進行兩個遞歸調用。 您的遞歸調用正在形成一棵二叉樹。