查找n位數的子序列數，該子序列可被8整除

Question

給定n = 1到10 ^ 5，以十進制格式存儲為字符串。

示例：如果n = 968，則在所有子序列（即9、6、8、96、68、98、968）中，有3個子序列（即968、96和8）可被8整除。因此，答案是3。

由於答案可能非常大，因此請以模為單位打印答案（10 ^ 9 + 7）。

Answer 1

您可以使用動態編程。 讓f(len, sum)是長度的前綴的子序列的數目len ，使得它們的和是sum模8（ sum范圍從0到7）。

len = 1的f值很明顯。 過渡如下：

1. 我們可以在新位置開始一個新的子序列： f(len, a[i] % 8) += 1 。

2. 我們可以從較短的前綴繼續任何子序列：

    for old_sum = 0..7 f(len, (old_sum * 10 + a[i]) % 8) += f(len - 1, old_sum) // take the new element f(len, old_sum) += f(len - 1, old_sum) // ignore the new element 

當然，您可以執行所有計算模塊10 ^ 9 + 7並使用標准整數類型。

3. 答案是f(n, 0) （考慮所有元素，且模8的總和為0）。

該解決方案的時間復雜度為O(n) （因為存在O(n)個狀態，並且每個狀態都有2個轉換）。

注意：如果數字不能包含前導零，則只能向狀態添加一個參數：一個標志，指示子序列的第一個元素是否為零（此序列永遠不應擴展）。 解決方案的其余部分保持不變。

Answer 2

注意：此答案假設您是指連續的子序列。

一個數字可被8整除的除數規則是，如果該數字的最后三位數可被8整除。使用此方法，可以獲得簡單的O(n)算法，其中n是數字中的位數。

1. 令N=a_0a_1...a_(n-1)是N具有n位數字的小數表示。
2. 讓到目前為止的序列數為s = 0
3. 對於每三位數字集a_i a_(i+1) a_(i+2) ，檢查數字是否可被8整除。 如果是這樣，則將i + 1添加到序列數，即s = s + i 。 這是因為對於范圍從0..i k ，所有字符串a_k..a_(i+2)都可以被8整除。
4. 將i從0循環到n-2-1然后繼續。

因此，如果您有1424968 ， 1424968分割的子序列位於：

1. i=1 （ 424產生i+1 = 2數字： 424和1424 ）
2. i=3 （ 496得到i+1 = 4號： 496 ， 2496 ， 42496 ， 142496 ）
3. i=4 （ 968產生i+1 = 5號： 968 ， 4968 ， 24968 ， 424968 ， 1424968 ）

注意，將需要一些小的修改以考慮長度小於三位數的數字。

因此，序列總數= 2 + 4 + 5 = 11 。 總復雜度= O(n) ，其中n是位數。

Answer 3

這不是代碼編寫服務，所以我只給您足夠的方法。

子序列可能有10種狀態。第一個是空的。 第二個是前導0。其他8是一個正在進行的數字，它是0-7 mod8。您從字符串的開頭以1的方式為空開始，別無其他。 在字符串的末尾，您的答案是使前導0加上正在進行的數字0 mod 8的方式的數量。

過渡表應該很明顯。 剩下的只是普通的動態編程。

Answer 4

可以使用以下事實：對於任何三位數的abc ，以下條件成立：

abc % 8 = ((ab % 8) * 10 + c) % 8

換句話說：對於具有固定起始索引的數字的測試可以級聯：

int div8(String s){
    int total = 0, mod = 0;

    for(int i = 0; i < s.length(); i++)
    {
        mod = (mod * 10 + s.charAt(i) - '0') % 8

        if(mod == 0)
            total++;
    }

    return total;
}

但是我們沒有固定的起始索引！ 好吧，這很容易解決：

假設兩個序列a和b ，使得int(a) % 8 = int(b) % 8和b是一個后綴a 。 無論序列如何繼續， a和b的模數始終保持相等。 因此，足以跟蹤共享模數等於8的屬性的序列數。

final int RESULTMOD = 1000000000 + 7;

int div8(String s){
    int total = 0;
    //modtable[i] is the number of subsequences with int(sequence) % 8 = i
    int[] modTable = new int[8];

    for(int i = 0; i < s.length(); i++){
        int[] nextTable = new int[8];

        //transform table from last loop-run (shared modulo)
        for(int j = 0; j < 8; j++){
            nextTable[(j * 10 + s.charAt(i) - '0') % 8] = modTable[j] % RESULTMOD;
        }

        //add the sequence that starts at this index to the appropriate bucket
        nextTable[(s.charAt(i) - '0') % 8]++;

        //add the count of all sequences with int(sequence) % 8 = 0 to the result
        total += nextTable[0];
        total %= RESULTMOD;

        //table for next run
        modTable = nextTable;
    }

    return total;
}

運行時為O(n) 。