證明大O符號

Question

證明5n ^ 2 + 2n -1 = O（n ^ 2） 。 到目前為止，這是我嘗試過的：

    5n^2 + 2n -1 <= 5n^2 + 2n^2 -n2 for n>1
    5n^2+ 2n -1 <= 6n^2  for n>1
    5n^2+ 2n -1 = O(n^2) [ c = 6n^2, n0 = 1 ]

這是證明Big O符號的正確方法嗎？

Answer 1

為了證明您的表達式是O(n^2) ，您需要證明它受M*n^2 （對於某個常數M和某個最小值n 。 通過檢查，我們可以證明您的表達式的邊界是10*n^2 ，其中n=10 ：

對於n = 10 ：

5n^2 + 2n -1 <= 10*n^2
500 + 20 - 1 <= 1000
519 <= 1000

我們還可以證明，對於任何大於 10的值n ，表達式都以10*n^2為界：

對於n > 10 ：

5n^2 + 2n -1 <= 10*n^2
5*(10+i)^2 + 2*(10+i) -1      <= 10*(10+i)^2
5*(i^2 + 20i + 100) + 2i + 19 <= 10*(i^2 + 20i + 100)
2i + 19 <= 5*(i^2 + 20i + 100)
2i + 19 <= 5i^2 + 100i + 500
5i^2 + 98i + 481 >= 0, which is true for `i > 0`

這是Wikipedia關於Big-O符號的文章的鏈接：

https://zh.m.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation

更新：

請注意，實際上，為了標記您的表達式O(n^2)我們不會采用這種難看的書面證明。 取而代之的是，我們將認識到n^2項將主導大n的表達式，並且總體行為將為O(n^2) 。 而且您的表達式也是O(n^3) （和O(n^4)等）。

Answer 2

我們有f（n）= 5 * n ^ 2 + 2 * n-1和g（n）= n ^ 2

為了證明f（n）= O（g（n）），我們只需要找到2個常量，即c> 0和n_0，對於所有n> = n0，st f（n）<= cg（n）。

讓我們選擇一些c = 5.5的值。 讓我們評估並繪制f（n）和c * g（n）。 從圖中可以看到，並且由於n ^ 2/2-2 * n +1 =（n ^ 2-4 * n + 2）/ 2 =（（n-2）^ 2- 2）/ 2> = 0對於所有n> = 4，這意味着5 * n ^ 2 + 2 * n-1 <= 5.5 * n ^ 2對於所有n> = n0 = 4.因此，f（n） ＝ O（g（n））。 （證明了）

Answer 3

看起來不錯，我在想，如果您是在做分配工作或其他形式工作，那么您也可以以更形式化的方式進行，例如選擇常數（c）的值，例如通過f（n）/ g（n），否則看起來正確