如何確定 LDPC 生成器矩陣形成奇偶校驗矩陣 (802.16e)

Question

我有1/2速率和擴展因子96 802.16e 標准的奇偶校驗表H ：

Hb = 
-1 94 73 -1 -1 -1 -1 -1 55 83 -1 -1 7 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
-1 27 -1 -1 -1 22 79 9 -1 -1 -1 12 -1 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 -1 24 22 81 -1 33 -1 -1 -1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
61 -1 47 -1 -1 -1 -1 -1 65 25 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 39 -1 -1 -1 84 -1 -1 41 72 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 -1 -1 46 40 -1 82 -1 -1 -1 79 0 -1 -1 -1 -1 0 0 -1 -1 -1 -1 -1
-1 -1 95 53 -1 -1 -1 -1 -1 14 18 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 -1 -1 -1 -1
-1 11 73 -1 -1 -1 2 -1 -1 47 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 -1 -1 -1
12 -1 -1 -1 83 24 -1 43 -1 -1 -1 51 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 -1 -1
-1 -1 -1 -1 -1 94 -1 59 -1 -1 70 72 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 -1
-1 -1 7 65 -1 -1 -1 -1 39 49 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0
43 -1 -1 -1 -1 66 -1 41 -1 -1 -1 26 7 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0

然后我得到H以二進制形式與尺寸1152x2304 ：間諜（H）IMG

我想從H得到一個矩陣生成器G ，我該怎么做？ 我需要通過將單詞乘以生成器矩陣（ cw = m*G ，其中m - 輸入單詞， cw - 代碼字）來編碼單詞。

我嘗試了不同的方法，但最后我無法達到nnz(mod(G*H', 2))等於0 。

Answer 1

一個老問題，但因為我有同樣的問題並設計了一個解決方案......

這種LDPC碼是系統的，即碼字包含信息位，信息位是碼字的前導位。 所有計算均在GF2 （大小為 2 的伽羅瓦域）中進行。

讓我們表示：

• n碼字長度（以及H和G的列數），
• m奇偶校驗位數（以及H的行數），
• k=nm信息位數（以及G的行數），
• [A,B]由左到右連接兩個子矩陣A和B形成的矩陣（當A和B具有相同的行數時），
• A^矩陣A的轉置矩陣，
• Ip大小為p的單位矩陣，
• 0p大小為p的零向量，
• inv(A)方陣A的逆矩陣。

如果u是要編碼的k位字（信息位），而x是相應的n位代碼字，因為該代碼是具有前導信息位的系統，我們有：

x = u * G
  = u * [Ik,F] = [u,u * F] = [u,c]
c = u * F

其中F是k行m列矩陣。 我們還可以將奇偶校驗矩陣H為H = [A,B] ，其中A是m行k列矩陣， B是m行m列（正方形）矩陣。 事實上， B不是奇異的（它有一個逆）。 所以：

H * x^ = [A,B] * x^ = [A,B] * [u,c]^ = A * u^ + B * c^ = 0n^
(H * x^)^ = u * A^ + c * B^ = 0n
(H * x^)^ * inv(B^) = u * A^ * inv(B^) + c = 0n

它來自（我們在GF2 ）：

c = u * (A^ * inv(B^))

因此：

F = A^ * inv(B^)
G = [Ik,A^ * inv(B^)]

從H計算G的八度代碼（其中H已經在GF2 ）並檢查G * H^ = 0 （Matlab 代碼應該非常相似）：

pkg load communications

function F = make_gen_min(H)
    m = size(H, 1);
    n = size(H, 2);
    k = n - m;
    A = H(1:m, 1:k);
    B = H(1:m, k+1:n);
    F = transpose(A) * inv(transpose(B)); 
endfunction

function G = make_gen(H)
    m = size(H, 1);
    n = size(H, 2);
    k = n - m;
    F = make_gen_min(H);
    G = [gf(eye(k), 2), F];
endfunction

H = [...];

G = make_gen(H);
if(any(G * transpose(H)))
    disp ("Error: G * transpose(H) != 0");
else
    disp ("Note: G * transpose(H) == 0");
endif