在Coq中，如何構造'sig'類型的元素

Question

使用類型A的簡單歸納定義：

Inductive A: Set := mkA : nat-> A.

(*get ID of A*)
Function getId (a: A) : nat := match a with mkA n => n end. 

和子類型定義：

(* filter that test ID of *A* is 0 *)
Function filter (a: A) : bool := if (beq_nat (getId a) 0) then true else false.

(* cast bool to Prop *)
Definition IstrueB (b : bool) : Prop := if b then True else False.

(* subtype of *A* that only interests those who pass the filter *)
Definition subsetA : Set := {a : A | IstrueB (filter a) }.

我嘗試使用此代碼在filter通過時將A元素subsetA為subsetA ，但未subsetA Coq方便，因為它是'sig'類型的元素的有效構造：

Definition cast (a: A) : option subsetA :=
match (filter a) with
 | true => Some (exist _ a (IstrueB (filter a)))
 | false => None
end.

錯誤：

In environment
a : A
The term "IstrueB (filter a)" has type "Prop"
while it is expected to have type "?P a"
(unable to find a well-typed instantiation for "?P": cannot ensure that
"A -> Type" is a subtype of "?X114@{__:=a} -> Prop").

因此，Coq期望類型的實際證明(IstrueB (filter a)) ，但我提供的是類型Prop 。

您能否說明如何提供這種類型？ 謝謝。

Answer 1

首先，有一個標准的is_true包裝器。 您可以像這樣明確地使用它：

Definition subsetA : Set := {a : A | is_true (filter a) }.

或隱式使用強制機制：

Coercion is_true : bool >-> Sortclass.
Definition subsetA : Set := { a : A | filter a }.

接下來，在filter a上進行非依賴性模式運算不會將filter a = true傳播到true分支中。 您至少有三個選擇：

1. 使用策略來構建您的cast功能：

    Definition cast (a: A) : option subsetA. destruct (filter a) eqn:prf. - exact (Some (exist _ a prf)). - exact None. Defined. 

2. 顯式使用依賴模式匹配（在Stackoverflow或CDPT中搜索“ convoy模式”）：

    Definition cast' (a: A) : option subsetA := match (filter a) as fa return (filter a = fa -> option subsetA) with | true => fun prf => Some (exist _ a prf) | false => fun _ => None end eq_refl. 

3. 使用Program功能：

    Require Import Coq.Program.Program. Program Definition cast'' (a: A) : option subsetA := match filter a with | true => Some (exist _ a _) | false => None end.