多態推理

Question

我正在學習Haskell，在互聯網上我找到了來自Philip Wadler的論文 。
我讀它並且根本不理解，但它以某種方式連接到多態函數。

例如：

polyfunc :: a -> a -> a

它是任何類型的多態函數。

連接示例polyfunc的自由定理是什么？

Answer 1

我覺得如果我真的理解那篇論文，那么我寫的任何代碼都會被上帝合着。

我對這個問題的最好猜測是，所有polyfunc都可以做的總是返回第一個參數或總是返回第二個參數。 所以實際上只有兩個polyfunc實現，

polyfuncA a _ = a
polyfuncB _ b = b

本文為您提供了證明該聲明的方法。

這是一個非常重要的概念。 例如，我以前參與過數據質量研究。 這個自由定理說沒有能從兩個任意數據中選擇最佳數據的函數。 我們必須了解更多。 實際上，我很驚訝地發現有些人願意忽略它。

Answer 2

我從來沒有真正理解那篇論文中提出的算法，所以我想我會試着弄明白。

(1) Type of function in question
f :: a -> a -> a

(2) Rephrasing as a relation
f : ∀X. X -> X -> X

(3) By parametricity
(f, f) ∈ ∀X. X -> X -> X

(4) By definition of ∀ on relations
for all Q : A <=> A',
  (fA, fA') ∈ Q -> Q -> Q

(5) Applying definition of -> on relations to the first -> in (4)
for all Q : A <=> A',
  for all (x, x') ∈ Q,
    (fA x, fA' x') ∈ Q -> Q

(6) Applying definition of -> on relations to (5)
for all Q : A <=> A',
  for all (x, x') ∈ Q,
    for all (y, y') ∈ Q,
      (fA x y, fA' x' y') ∈ Q

在這一點上，我完成了擴展關系定義，但不知道如何從關系到函數和類型的術語，所以我去找到一個webapp，它將自動導出一個類型的自由定理 。 我不會破壞（但）它給出的結果，但看着它確實幫助我弄清楚我的證明的下一步。

下一步是從關系土地回到功能土地，注意到Q可以是任何功能的類型，這仍然有效。

(7) Specializing Q to a function g :: p -> q
for all p, q
  for all g :: p -> q
    where g x = x'
      and g y = y'
        g (f x y) = f x' y'

(8) By definitions of x' and y'
for all p, q
  for all g :: p -> q
    g (f x y) = f (g x) (g y)

這看起來是真的，對嗎？ 它相當於使用g來轉換兩個元素然后讓f在它們之間進行選擇，或者讓f選擇一個元素然后用g轉換它。 通過參數化， f不能改變它是否根據g所做的任何事情選擇左或右元素。

當然，特雷弗·庫克的回答中提出的主張是正確的： f必須總是選擇第一個參數，或者總是選​​擇第二個參數。 我不確定我推導出的自由定理是否等同於它，或者它是否是一個較弱的版本。

---

順便提一下，這是本文已明確涵蓋的特殊情況。 它給出了定理

k :: x -> y -> x

這當然與你的函數f相同，其中x ~ a和y ~ a 。 它給出的結果與我描述的結果相同：

for all a, b, x, y
  a (k x y) = k (a x) (b y)

如果我們選擇b=a來使兩個結果等價。