Ed Kmett的遞歸方案包中的Fix，Mu和Nu有什么區別

Question

在Ed Kmett的recursion-scheme包中，有三個聲明：

newtype Fix f = Fix (f (Fix f))

newtype Mu f = Mu (forall a. (f a -> a) -> a)

data Nu f where 
  Nu :: (a -> f a) -> a -> Nu f

這三種數據類型有什么區別？

Answer 1

Mu表示遞歸類型作為其折疊， Nu表示它作為其展開。 在Haskell中，這些是同構的，並且是表示相同類型的不同方式。 如果你假裝Haskell沒有任意遞歸，這些類型之間的區別變得更有趣： Mu f是最少的（最初的）固定點f和Nu f是其最大的（終端）的固定點。

f的固定點是T和f T之間的類型T同構，即in :: f T -> T ， out :: T -> f T的一對反函數。 類型Fix只使用Haskell的內置類型遞歸來直接聲明同構。 但是你可以實現Mu和Nu輸入/輸出。

舉一個具體的例子，假裝你不能寫遞歸值。 Mu Maybe的居民Mu Maybe ，即值:: forall r. (Maybe r -> r) -> r :: forall r. (Maybe r -> r) -> r ，是自然的，{0,1,2，...}; Nu Maybe的居民，即值:: exists x. (x, x -> Maybe x) :: exists x. (x, x -> Maybe x) ，是conaturals {0,1,2，...，∞}。 想想這些類型的可能價值，看看為什么Nu Maybe有一個額外的居民。

如果你想對這些類型有一些直覺，那么在沒有遞歸的情況下實現以下內容可能是一種有趣的練習（大致按難度遞增順序）：

• zeroMu :: Mu Maybe ， succMu :: Mu Maybe -> Mu Maybe
• zeroNu :: Nu Maybe ， succNu :: Nu Maybe -> Nu Maybe ， inftyNu :: Nu Maybe
• muTofix :: Mu f -> Fix f ， fixToNu :: Fix f -> Nu f
• inMu :: f (Mu f) -> Mu f ， outMu :: Mu f -> f (Mu f)
• inNu :: f (Nu f) -> Nu f ， outNu :: Nu f -> f (Nu f)

您也可以嘗試實現這些，但它們需要遞歸：

• nuToFix :: Nu f -> Fix f ， fixToMu :: Fix f -> Mu f

Mu f是最不固定的點， Nu f是最大的，所以寫一個函數:: Mu f -> Nu f很容易，但寫一個函數:: Nu f -> Mu f很難; 就像在逆流而行。

（有一點，我的意思是寫出這些類型的更詳細的解釋，但這種格式可能有點太長了。）