將自然數分配到等堆的算法

Question

我正在尋找一種可以接收一組自然數的算法，例如：

S = {1, 3, 4, 2, 9, 34, 432, 43}

然后將它們分成盡可能相等的堆。 樁的數量預定義為 n。

目標是使每堆與最低堆之間的差異之和最小。

這里有一個例子。

假設你有：

S = { 1, 2, 2, 3, 1, 2, 3 }
n = 3

那么一個解決方案可能是

N1 = { 1, 2 }
N2 = { 2, 3 }
N3 = { 1, 2, 3 }

這些樁的總和將是 3、5 和 6。錯誤將是：(5 - 3) + (6 - 3) = 5。

該算法需要找到具有最低誤差的解決方案。

任何幫助表示贊賞。 如果有什么不清楚的，請發表評論。

Answer 1

這聽起來像是https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bin_packing_problem的變體。 然而，沒有給出箱子的大小，因此它至少和裝箱一樣困難。 因此這個問題是 NP 難的。

例如，對於近似解決方案，您可以計算平均箱大小並執行首次擬合或最佳擬合的調整，以允許小的過度包裝。

Answer 2

我認為沒有有效的方法來解決這個問題，因為它是一個 NP-hard 問題。

證明：

讓我們將您提出的問題表示為 P*，

我們可以通過執行以下操作將分區問題（已知的 NP-hard）簡化為 P* 給定一個任意的分區問題 P1，我們要求解決 P* 的黑盒解決 N=2 的 P1（即，將集合划分為 2使差異最小化的堆）。

如果黑盒返回的差值為零，-> P1 有解

如果黑盒返回的差值不為零，-> P1 無解

因此，P* 是 NP-hard