2種功能的時空復雜度

Question

def bar(n):
    if n==0:
        return 0
    else:
        return n+bar(n-1)
def foo(n):
    if n==0:
        return 0
    else:
        return bar(n)+foo(n-1)

嗨，我剛剛了解了時空復雜性。 誰能和我確認我是否正確地說foo的時間復雜度為O（n ** 2）和foo的空間復雜度為O（n）？ 由於foo調用bar本身僅調用一次，而foo始終調用2個函數，因此不太確定時間復雜度。

Answer 1

每次你調用時foo與可以說T作為輸入參數，你打電話bar ，從1到T - 1 。 這意味着您正在執行以下操作：

foo's input     bar's inputs  
   1                1,
   2                2, 1,
   3                3, 2, 1
   4                4, 3, 2, 1
  ...
   n                n, n-1, n-2, ...

因此，呼叫數量如下：

1,   2   ,   3    ,     4      , ...        t

1 ,(1+2) , (1+2+3) , (1+2+3+4) , ... (t+t-1+t-2+...+1)

這是一個遞歸方程，您可以將bar的遞歸方程代替n並簡單地找到大O

這意味着foo的復雜度為O（t ² ），並且由於bar的復雜度為O(n)通過將foo的方程式中放置n ，您將獲得O（n ² ）。

您還可以通過在bar的return行之前添加print('*')非常簡單地進行檢查，以檢查呼叫次數：

In [42]: foo(2)
*
*
*
Out[42]: 4

In [43]: foo(3)
*
*
*
*
*
*
Out[43]: 10

In [44]: foo(4)
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Out[44]: 20

如您所見，有2個電話有3個電話，有3個電話有6個電話，有4個電話有10個電話。

Answer 2

你是對的。 這里的空間復雜度實際上是程序執行期間調用堆棧的最大深度，它是O(n) 。 對於foo時間復雜度，您可以計算函數調用的次數：

NC(foo(n)) = NC(bar(n)) + NC(foo(n-1)) + 1

既然很明顯NC(bar(n)) = n + 1 ，我們就擁有了（忽略那些常量“ +1”部​​分）：

NC(foo(n)) = n + NC(foo(n-1)) = n + (n-1) + NC(foo(n-2)) = 
= n + (n-1) + ... + 1 = n(n+1)/2 = O(n^2)