在Coq表示法中使用隱式類型參數

Question

我正試圖把我的腦袋包裹在Coq中的類型類中（我過去曾經涉足它，但我與經驗豐富的用戶相去甚遠）。 作為練習，我正在嘗試編寫一個小組理論庫。 這就是我想出來的：

Class Group {S : Type} {op : S → S → S} := {
  id : S;

  inverse : S → S;

  id_left {x} : (op id x) = x;
  id_right {x} : (op x id) = x;

  assoc {x y z} : (op (op x y) z) = (op x (op y z));

  right_inv {x} : (op x (inverse x)) = id;
}.

我特別喜歡隱含的S和op參數（假設我正確理解它們）。

為反轉做一些表示法很容易：

Notation "- x" := (@inverse _ _ _ x)
  (at level 35, right associativity) : group_scope.

現在，我想讓x * y成為(op xy)的簡寫。 使用部分時，這很簡單：

Section Group.
Context {S} {op} { G : @Group S op }.

(* Reserved at top of file *)
Notation "x * y" := (op x y) : group_scope.
(* ... *)
End Group.

但是，由於這是在一個部分中聲明的，因此其他地方無法訪問該表示法。 如果可能的話，我想在全球范圍內聲明符號。 我遇到的問題（與inverse ）是因為op是Group的隱式參數，它實際上並不存在於全局范圍內的任何地方（所以我不能通過它來引用它(@op _ _ _ xy) ）。 這個問題告訴我，我要么使用類型錯誤，要么不理解如何將符號與隱式變量集成。 有人能指出我正確的方向嗎？

答案（2018年1月25日）

基於Anton Trunov的回復 ，我能夠編寫以下內容，其工作原理如下：

Reserved Notation "x * y" (at level 40, left associativity).

Class alg_group_binop (S : Type) := alg_group_op : S → S → S.

Delimit Scope group_scope with group.
Infix "*" := alg_group_op: group_scope.

Open Scope group_scope.

Class Group {S : Type} {op : alg_group_binop S} : Type := {
  id : S;

  inverse : S → S;

  id_left {x} : id * x = x;
  id_right {x} : x * id = x;

  assoc {x y z} : (x * y) * z = x * (y * z);

  right_inv {x} : x * (inverse x) = id;

}.

Answer 1

以下是PierreCastéran和Matthieu Sozeau如何在Coq （第3.9.2節）中的類型類和關系的溫和介紹中解決這個問題：

來自同上的解決方案。 包括聲明用於表示二元運算符的單例類型類：

 Class monoid_binop (A:Type) := monoid_op : A -> A -> A. 

注意 ：與多字段類類型不同， monoid_op不是構造函數，而是透明常量，使得monoid_op f可以被δβ減少為f 。

現在可以聲明中綴表示法：

 Delimit Scope M_scope with M. Infix "*" := monoid_op: M_scope. Open Scope M_scope. 

我們現在可以給出Monoid的新定義，使用類型monoid_binop A而不是A → A → A ，以及中綴符號x * y而不是monoid_op xy ：

 Class Monoid (A:Type) (dot : monoid_binop A) (one : A) : Type := { dot_assoc : forall xyz:A, x*(y*z) = x*y*z; one_left : forall x, one * x = x; one_right : forall x, x * one = x }. 

Answer 2

皮埃爾·卡斯特蘭（PierreCastéran）和馬蒂烏·索佐（Matthiu Sozeau）就是這樣處理的原因。

但不會

Definition group_op {S op} {G : @Group S op} := op.
Infix "*" := group_op.

還在這里工作？ （我只嘗試了兩個非常基本的測試用例。）

這將使您無需更改Group定義。