雙浮點精度

Question

我正在用高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）方法求解拉普拉斯方程，但在某些地區，其表現出平穩的狀態。 形式上，即通過數值分析，即使梯度幾乎為零，也不應該存在這樣的區域。

我不得不相信雙精度不足以執行算術運算，並且需要使用大量的數字庫（這會降低性能，因為現在它將由軟件來完成）。 或者，我應該以不同的順序進行操作，以保留小數點的重要性。

例

單元（13、14、0）正在通過7點網格（在3D模式下）進行更新，其相鄰單元為：

(12,14,0)=  0.9999999999999936; // (x-)
(14,14,0)=  0.9999999999999969; // (x+)
(13,13,0)=  0.9999999999999938; // (y-)
(13,15,0)=  1.0000000000000000; // (y+)
(13,14,-1)= 1.0000000000000000; // (z-)
(13,14,1)=  0.9999999999999959; // (z+)

因此，單元格（13,14,0）的新值將評估為：

p_new = (0.9999999999999936 + 0.9999999999999969 + 0.9999999999999938 + 1.0000000000000000 + 1.0000000000000000 + 0.9999999999999959) / 6.0 ;

導致p_new為1.0000000000000000，而應為0.9999999999999966。

碼

#include <stdio.h>

int main()
{
    double ad_neighboor[6] = {0.9999999999999936, 0.9999999999999969,
                              0.9999999999999938, 1.0000000000000000,
                              1.0000000000000000, 0.9999999999999959};

    double d_denom = 6.0;

    unsigned int i_xBackward=0;
    unsigned int i_xForward=1;

    unsigned int i_yBackward=2;
    unsigned int i_yForward=3;

    unsigned int i_zBackward=4;
    unsigned int i_zForward=5;

    double d_newPotential = (ad_neighboor[i_xForward] + ad_neighboor[i_xBackward] +
                             ad_neighboor[i_yForward] + ad_neighboor[i_yBackward] +
                             ad_neighboor[i_zForward] + ad_neighboor[i_zBackward] ) / d_denom;

    printf("%.16f\n", d_newPotential);
}

Answer 1

由於您正在解決：

d²(phi)/dx² + d²(phi)/dy² = 0

相反，您可以解決等效問題：

d²(phi')/dx² + d²(phi')/dy² = 0

其中， phi' = phi - 1 。

切記以phi'為單位應用邊界條件。

最終，在解決方案收斂之后，您可以得到phi = 1 + phi'的解決方案。

我在這里假設邊界值接近1。

我沒有嘗試過，但我認為數字將以浮點數表示法的有效數字表示，因此可以減少截斷錯誤。

Answer 2

對於平台上的雙精度浮點類型，您的粒度太好了。

在大多數情況下，您可以通過調整粒度來解決此問題。 如果您需要任何令人信服的效果，那么15個有效的粒度就足以使太陽系以1厘米長的正方形與軌道或冥王星嚙合！ 對於這種方法，我傾向於保留至少四個數量級以消除數字噪聲。

僅在極少數情況下，您才應該考慮切換到另一種數據類型，例如long double （如果與平台的double不同）或任意精度類型。