Haskell如何進行類型檢查無限遞歸值？

Question

定義此數據類型：

data NaturalNumber = Zero | S NaturalNumber
    deriving (Show)

在Haskell中（使用GHC編譯），此代碼將在沒有警告或錯誤的情況下運行：

infinity = S infinity
inf1 = S inf2
inf2 = S inf1

因此，遞歸和相互遞歸的無限深度值都會通過類型檢查。

但是，以下代碼給出了錯誤：

j = S 'h'

錯誤狀態Couldn't match expected type 'NaturalNumber' with actual type 'Char' 。 即使我設置，（相同）錯誤仍然存​​在

j = S (S (S (S ... (S 'h')...)))

有一百個左右的嵌套S

Haskell如何判斷infinity是NaturalNumber的有效成員，但j不是？

有趣的是，它還允許：

bottom = bottom
k = S bottom

Haskell只是試圖證明一個程序的不正確性，如果它不能這樣做，那么允許它嗎？ 或者Haskell的類型系統不是圖靈完整的，所以如果它允許程序那么程序可證明（在類型級別）正確嗎？

（如果類型系統（在Haskell的形式語義中，而不僅僅是類型檢查器）是Turing完成的，那么它將無法實現某些正確類型的程序是正確的，或者某些錯誤輸入的程序是不正確的，因為它的不可判定性停止問題。）

Answer 1

好

S :: NaturalNumber -> NaturalNumber

在

infinity = S infinity

我們首先假設什么：我們為infinity分配一些未解決的類型_a並試圖找出它是什么。 我們知道我們已經將S應用於infinity ，所以_a必須是構造函數類型中的箭頭左側的任何內容，即NaturalNumber 。 我們知道infinity是應用S的結果，所以infinity :: NaturalNumber ，再次（如果我們為這個定義得到兩個沖突的類型，我們必須發出一個類型錯誤）。

類似的推理適用於相互遞歸的定義。 inf1必須是NaturalNumber因為它在inf2顯示為S的參數; inf2必須是NaturalNumber因為它是S的結果; 等等

通用算法是分配定義未知類型（值得注意的例外是文字和構造函數），然后通過查看每個定義的使用方式來創建對這些類型的約束。 例如，這必須是某種形式的列表，因為它是reverse ，並且這必須是一個Int因為它用於從IntMap查找值等。

如果是

oops = S 'a'

'a' :: Char因為它是一個文字，但是，我們也必須有'a' :: NaturalNumber因為它被用作S的參數。 我們得到明顯的偽造約束，即文字的類型必須都是Char和NaturalNumber ，這會導致類型錯誤。

並在

bottom = bottom

我們從bottom :: _a開始。 唯一的約束是_a ~ _a ，因為正在使用類型_a （ bottom ）的值，其中期望類型為_a的值（在bottom定義的RHS上）。 由於沒有什么可以進一步約束類型，因此未解決的類型變量是通用的 ：它被通用量詞綁定以生成bottom :: forall a. a bottom :: forall a. a 。

注意在推斷bottom類型時，上面bottom兩種用法如何具有相同的類型（ _a ）。 這打破了多態遞歸：其定義中每次出現的值都與定義本身的類型相同。 例如

-- perfectly balanced binary trees
data Binary a = Leaf a | Branch (Binary (a, a))
-- headB :: _a -> _r
headB (Leaf x) = x -- _a ~ Binary _r; headB :: Binary _r -> _r
headB (Branch bin) = fst (headB bin)
-- recursive call has type headB :: Binary _r -> _r
-- but bin :: Binary (_r, _r); mismatch

所以你需要一個類型簽名：

headB :: {-forall a.-} Binary a -> a
headB (Leaf x) = x
headB (Branch bin) = fst (headB {-@(a, a)-} bin)
-- knowing exactly what headB's signature is allows for polymorphic recursion

所以：當某些東西沒有類型簽名時，類型檢查器會嘗試為它分配一個類型，如果它遇到偽造的約束，它會拒絕該程序。 當某些東西有一個類型簽名時，類型檢查器會進入它，以確保它是正確的（如果你更願意這樣想的話，試圖證明它是錯誤的）。

Haskell的類型系統不是Turing完整的，因為有很多語法限制來防止例如類型lambdas（沒有語言擴展），但它不足以確保所有程序運行完成而沒有錯誤，因為它仍然允許底部（更不用說所有不安全的功能）。 它提供了較弱的保證，如果程序在不使用不安全功能的情況下運行完成，它將保持類型正確。 在GHC下，通過足夠的語言擴展，類型系統確實成為​​圖靈完整的。 我不認為它允許通過不良類型的程序; 我認為你能做的最多就是將編譯器拋入無限循環。