如何計算有多少個大小為n的位序列（設置了k個位，並且位值發生c次變化）？

Question

我們知道，計算設置了k個位的n個長度位序列的數量等於C（n，k）= n！/（k！ （nk）！）*。

但是我最近問自己，一旦設置了其他條件，您將如何考慮這個問題：位值的數量發生變化。 例如，對於n = 4和k = 2，我們有6個解：

1-0011

2-0101

3-0110

4-1001

5-1010

6-1100

現在假設我們只想獲得位值有兩個變化的序列。 現在只有兩種解決方案：

1-0110（從0開始，更改為1，然后再更改為0）。 2-1001（從1開始，更改為0，然后再更改為1）。

如何快速計算解決方案的數量（不生成每個組合並進行計數）？ 我認為可以將初始位算作更改而不會過多改變答案，因此可以隨意進行。

額外的問題：給定組合的k位和c個位數的變化的組合，以相同的k位集合和c個位數的變化的相同數量生成下一個組合的最快方法是什么？

Answer 1

這是一個骨灰級的問題。 首先從一個0 s和1 s交替的順序開始，然后進行所需的位數更改，然后將其余的0 s和1 s放入骨灰盒。

示例： n=20 ， k=8 ， c=4 。

考慮bistring以0開頭的情況。 從(c+1)交替位開始，進行c更改：

01010

此時，您仍然需要放置9 0 s和6 1 s。 讓我們先放置0 s。 在不增加任何位更改的情況下，我們可以通過多少種方式放置剩余的9個0 ？ 有3個“ ur”放置“球”（ 0 s）：

0 ... 1 0 ... 1 0 ...
   ^       ^       ^

(9+3-1) choose 3種方式將9個球放入3個骨灰盒中。

一旦放置了0 s，我們還需要放置1 s。 通過類似的推理，我們在2個骨灰盒中放置了6個球（ 1 s），可以用(6+2-1) choose 2種方式來完成。

由於0 s和1 s的排列是獨立的，因此我們將結果相乘：對於長度為20的位串，有((9+3-1) choose 3) * ((6+2-1) choose 2)種方式假設您從0開始，則 8 1 s具有4位更改。

您仍然需要添加剩余的大小寫（從1開始，因此第一步的結果是10101 ），可以用完全相同的方法來解決。

Answer 2

假設我們有一排n無法區分的物體，例如紅球。 我們可以通過幾種方式將它們分為k非空組？ 那很容易，對吧？ 第一組從第一個對象開始，其他每個組都必須從某個不同的對象開始。 因此，我們可以通過選擇第一個對象和剩余的n-1對象中的k-1來構造一個分區，我們可以用C(n-1, k-1)種不同的方式來完成。

現在假設我們有另一排m無法區分的對象，例如藍色球，並且我們想將它們分為j組。 但這是完全相同的問題，解決方案必須是C(m-1, j-1) 。

好的，現在假設我們要構造一行對象，其中n是紅色， m是藍色，其中共有c組在紅色和藍色之間交替。 現在，有兩種可能性：

1. 該行將從一個紅色的球開始。 如果c為偶數，則將有c/2紅色組與c/2藍色組交錯。 如果c為奇數，則紅色組比藍色組多，因此將有ceil(c/2)紅色組和floor(c/2)藍色組。 （如果c偶數，那么floor(c/2)和ceil(c/2)都恰好是c/2因此，在兩種情況下我們都可以使用floor和ceil公式。）

   無論如何，我們可以將紅色的球分成幾組，將藍色的球分成幾組，然后對它們進行交織。 因此，存在C(n - 1, ceil(c/2) - 1) × C(m - 1, floor(c/2) - 1)可能的排列。

2. 該行將從一個藍色的球開始。 完全相同的分析適用，只是n和m反。

因此，安排的總數為：

C(n - 1, ceil(c/2) - 1) × C(m - 1, floor(c/2) - 1) +
C(n - 1, floor(c/2) - 1) × C(m - 1, ceil(c/2) - 1)

這只是對您的問題的重寫，該問題具有k 1和nk零，具有c-1轉換（導致c組）。 我將剩下的代數步驟留給讀者（以及簡化奇數組計數）。