浮點數的確切值作為理性值

Question

我正在尋找一種方法將浮點數的精確值轉換為兩個整數的合理商，即a / b ，其中b不大於指定的最大分母b_max 。 如果滿足條件b <= b_max是不可能的，則結果回落到仍然滿足條件的最佳近似。

堅持，稍等。 這里有很多關於截斷實數的最合理逼近的問題/答案，它被表示為浮點數。 但是我對浮點數的確切值感興趣，浮點數本身就是一個具有不同表示的有理數。 更具體地，浮點數的數學集合是有理數的子集。 在IEEE 754二進制浮點標准的情況下，它是二元有理數的子集。 無論如何，任何浮點數都可以轉換為兩個有限精度整數的有理商作為a / b 。

因此，例如假設IEEE 754單精度二進制浮點格式， float f = 1.0f / 3.0f的有理等價不是1 / 3 ，而是11184811 / 33554432 。 這是f的精確值，它是IEEE 754單精度二進制浮點數的數學集合中的數字。

根據我的經驗，遍歷（通過二分搜索） Stern-Brocot樹在這里沒有用，因為當它被解釋為截斷的實數而不是精確數時，它更適合於近似浮點數的值。 理性的 。

可能， 繼續分數是要走的路。

這里的另一個問題是整數溢出。 想想我們想要將理性表示為兩個int32_t的商，其中最大分母b_max = INT32_MAX 。 我們不能依賴像b > b_max這樣的停止標准。 所以算法必須永遠不會溢出，否則它必須檢測溢出。

到目前為止我發現的是Rosetta Code的算法 ，該算法基於連續分數，但其來源提到它“仍然不完全”。 一些基本測試給出了很好的結果，但我無法確認其整體正確性，我認為它很容易溢出。

// https://rosettacode.org/wiki/Convert_decimal_number_to_rational#C

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <stdint.h>

/* f : number to convert.
 * num, denom: returned parts of the rational.
 * md: max denominator value.  Note that machine floating point number
 *     has a finite resolution (10e-16 ish for 64 bit double), so specifying
 *     a "best match with minimal error" is often wrong, because one can
 *     always just retrieve the significand and return that divided by 
 *     2**52, which is in a sense accurate, but generally not very useful:
 *     1.0/7.0 would be "2573485501354569/18014398509481984", for example.
 */
void rat_approx(double f, int64_t md, int64_t *num, int64_t *denom)
{
    /*  a: continued fraction coefficients. */
    int64_t a, h[3] = { 0, 1, 0 }, k[3] = { 1, 0, 0 };
    int64_t x, d, n = 1;
    int i, neg = 0;

    if (md <= 1) { *denom = 1; *num = (int64_t) f; return; }

    if (f < 0) { neg = 1; f = -f; }

    while (f != floor(f)) { n <<= 1; f *= 2; }
    d = f;

    /* continued fraction and check denominator each step */
    for (i = 0; i < 64; i++) {
        a = n ? d / n : 0;
        if (i && !a) break;

        x = d; d = n; n = x % n;

        x = a;
        if (k[1] * a + k[0] >= md) {
            x = (md - k[0]) / k[1];
            if (x * 2 >= a || k[1] >= md)
                i = 65;
            else
                break;
        }

        h[2] = x * h[1] + h[0]; h[0] = h[1]; h[1] = h[2];
        k[2] = x * k[1] + k[0]; k[0] = k[1]; k[1] = k[2];
    }
    *denom = k[1];
    *num = neg ? -h[1] : h[1];
}

Answer 1

所有有限double都是有理數，如OP所述。

使用frexp()將數字分解為其分數和指數。 由於范圍要求，最終結果仍然需要使用double來表示整數值。 有些數字太小，（ x小於1.0/(2.0,DBL_MAX_EXP) ）和無窮大，非數字是問題。

frexp函數將一個浮點數分解為一個歸一化的分數和一個2的整數冪。... interval [1 / 2,1}或0 ...
C11§7.12.6.42/ 3

#include <math.h>
#include <float.h>

_Static_assert(FLT_RADIX == 2, "TBD code for non-binary FP");

// Return error flag
int split(double x, double *numerator, double *denominator) {
  if (!isfinite(x)) {
    *numerator = *denominator = 0.0;
    if (x > 0.0) *numerator = 1.0;
    if (x < 0.0) *numerator = -1.0;
    return 1;
  }
  int bdigits = DBL_MANT_DIG;
  int expo;
  *denominator = 1.0;
  *numerator = frexp(x, &expo) * pow(2.0, bdigits);
  expo -= bdigits;
  if (expo > 0) {
    *numerator *= pow(2.0, expo);
  }
  else if (expo < 0) {
    expo = -expo;
    if (expo >= DBL_MAX_EXP-1) {
      *numerator /= pow(2.0, expo - (DBL_MAX_EXP-1));
      *denominator *= pow(2.0, DBL_MAX_EXP-1);
      return fabs(*numerator) < 1.0;
    } else {
      *denominator *= pow(2.0, expo);
    }
  }

  while (*numerator && fmod(*numerator,2) == 0 && fmod(*denominator,2) == 0) {
    *numerator /= 2.0;
    *denominator /= 2.0;
  }
  return 0;
}

void split_test(double x) {
  double numerator, denominator;
  int err = split(x, &numerator, &denominator);
  printf("e:%d x:%24.17g n:%24.17g d:%24.17g q:%24.17g\n", 
      err, x, numerator, denominator, numerator/ denominator);
}

int main(void) {
  volatile float third = 1.0f/3.0f;
  split_test(third);
  split_test(0.0);
  split_test(0.5);
  split_test(1.0);
  split_test(2.0);
  split_test(1.0/7);
  split_test(DBL_TRUE_MIN);
  split_test(DBL_MIN);
  split_test(DBL_MAX);
  return 0;
}

產量

e:0 x:      0.3333333432674408 n:                11184811 d:                33554432 q:      0.3333333432674408
e:0 x:                       0 n:                       0 d:        9007199254740992 q:                       0
e:0 x:                       1 n:                       1 d:                       1 q:                       1
e:0 x:                     0.5 n:                       1 d:                       2 q:                     0.5
e:0 x:                       1 n:                       1 d:                       1 q:                       1
e:0 x:                       2 n:                       2 d:                       1 q:                       2
e:0 x:     0.14285714285714285 n:        2573485501354569 d:       18014398509481984 q:     0.14285714285714285
e:1 x: 4.9406564584124654e-324 n:  4.4408920985006262e-16 d: 8.9884656743115795e+307 q: 4.9406564584124654e-324
e:0 x: 2.2250738585072014e-308 n:                       2 d: 8.9884656743115795e+307 q: 2.2250738585072014e-308
e:0 x: 1.7976931348623157e+308 n: 1.7976931348623157e+308 d:                       1 q: 1.7976931348623157e+308

請b_max考慮b_max 。

---

使用ldexp(1, expo) @gammatester或exp2(expo) @Bob__替換pow(2.0, expo) ldexp(1, expo)更方便的代碼

while (*numerator && fmod(*numerator,2) == 0 && fmod(*denominator,2) == 0)也可以使用一些性能改進。 但首先，讓我們根據需要獲得功能。