浮點數中整數的精確表示

Question

我試圖了解浮點格式的整數表示形式。

由於IEEE浮點格式的尾數只有23位，我希望任何大於1 << 22的整數都只是一個近似表示。 這不是我在g ++中觀察到的

下面的兩個cout都打印相同的值33554432。

由於尾數部分是負責精度的部分，我們如何能夠表示（存儲）需要超過23位才能准確存儲的精確數字。

void floating_point_precision(){
  cout<< setprecision(10);
  float fp = (1<<25);
  cout<< fp <<endl;
  cout<< (1<<25) <<endl;
}

作為基於以下答案的后續操作，即使兩個fp，i的打印內容都不相同，以下代碼為何仍未執行“不等於”操作？

void floating_point_precision(){
  cout<< setprecision(10);
  float fp = ((1<<25)+1);
  cout<< fp <<endl;
  int i = ((1<<25)+1)  ;
  cout<< i <<endl;
  if(i != fp)
    cout<< "Not equal" <<endl;
}

Answer 1

的確，IEEE浮點只有有限數量的尾數位。 如果有23個尾數位，則它可以准確表示2個^23個不同的整數值。

但是由於浮點數分別存儲2的冪次冪，因此它可以（受限於有限的指數范圍）精確表示2個²³值乘以 2 的冪 。

33554432正好是2 ²⁵ ，因此只需要一個尾數位即可准確表示它（加上一個二進制指數，表示乘以2的冪）。 它的二進制表示形式是10000000000000000000000000 ，它具有26位，但只有1個有效位。 （嗯，實際上它們都很重要，但是您明白了。）

您會發現它的相鄰整數值33554431和33554433 無法准確地用32位float 。 （但是它們可以用64位double 。）

更一般而言， float類型的可連續表示的值之間的差異隨該值的大小而變化。 在我的系統上（大多數系統使用IEEE格式，但是標准不需要），請使用以下程序：

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>

void show(float f) {
    std::cout << std::nextafterf(f, 0.0) << "\n"
              << f << "\n"
              << std::nextafterf(f, f*2) << "\n";
    putchar('\n');
}

int main(void) {
    std::cout << std::setprecision(24);

    show(1);
    show(1<<23);
    show(1<<24);
    show(1<<30);
}

產生以下輸出：

0.999999940395355224609375
1
1.00000011920928955078125

8388607.5
8388608
8388609

16777215
16777216
16777218

1073741760
1073741824
1073741952

它以數字float形式顯示數字1、2 ^{23、2 24}和2 ³⁰的直接前任和后繼。 如您所見，數字越大，差距越大，每乘以2的次方，差距的大小就會增加一倍。

您將獲得類似的結果，但使用double或long double類型的間隙較小。