給定一個數 n 和 k，有多少棵具有 k 個葉子的平衡（高度平衡）二叉樹？

Question

我們有 n 個節點和 k 個數字，我們如何計算（例如，使用動態規划）具有 n 個節點和 k 個葉子的所有高度平衡樹？

（高度平衡二叉樹是葉子高度最大差為1的樹。）

Answer 1

關於這些樹的假設/定義：

• 有n 個“節點”； 每個都沒有孩子，只有左孩子，只有右孩子，或者既有左孩子又有右孩子。
• 有k 個“葉子”，意思是沒有子節點的節點。
• 如果樹的高度稱為h ，則少於兩個子節點的節點的深度都等於h或h –1。 （這是平衡要求。）
• 一棵樹完全由它的結構定義（哪些節點沒有孩子、左孩子、右孩子、左孩子和右孩子）。

鑒於上述情況，該樹由高度h的滿二叉樹-1加在底層的一個或多個葉節點。 葉子的總數等於我們添加的葉子的數量，加上我們沒有添加任何孩子的上一層節點的數量。

因此，在高層次上，算法如下：

• 計算底層有多少節點，上層有多少節點。 （這僅取決於n ；例如，高度為 6 的完整二叉樹有 2 ⁶⁺¹ –1 = 127 個節點，因此如果n = 130，則底層有 3 個節點，倒數第二層有 64 個節點。）
• 計算倒數第二層有多少節點沒有孩子（即k減去最底層的節點數），其余有多少有一個孩子 vs. 兩個孩子（使用先前獲得的結果）。
• 然后可以通過組合來確定可能的樹的總數。 具體來說，就是這三個值的乘積：
  • 從倒數第二行的節點中選擇沒有子節點的方法數：（倒數第二層的節點） nCr（倒數第二層沒有子節點的節點)
  • 從倒數第二行的剩余節點中選擇方法的數量，哪些節點有一個子節點：（倒數第二層的節點有一個或兩個子節點） nCr（倒數第二行的節點- 有一個孩子的底層）
  • 選擇方式的數量，從倒數第二行有一個孩子的節點中，哪些有左孩子，哪些有右孩子：2 ^{（倒數第二行的節點有一個孩子）}

在實現這一點時，一定要考慮到沒有給定n和k值的樹的可能性； 對於任何給定的n ，對於滿足上述約束的樹，實際上只有特定范圍的k值是可能的。 如果k超出該范圍，則實現需要返回 0。