我如何證明和分析代碼的運行時間，是否為O（n）？

Question

如何通過遞歸調用證明和分析代碼的運行時間，是否為O（n）？

A = [10,8,7,6,5]
def Algorithm(A):
  ai = max(A)             # find largest integer
  i = A.index(ai)
  A[i] = 0
  aj = max(A)             # finding second largest integer 

  A[i] = abs(ai - aj)     # update A[i]
  j = A.index(aj)
  A[j] = 0                # replace the A[j] by 0
  if aj == 0:             # if second largest item equals
    return ai       # to zero return the largest integer
 return Algorithm(A)     # call Algorithm(A) with updated A

Answer 1

這是它的細分：

def Algorithm(A):
    ai = max(A)             # O(n)
    i = A.index(ai)         # O(n)
    A[i] = 0                # O(1)
    aj = max(A)             # O(n)

    A[i] = abs(ai - aj)     # O(1)
    j = A.index(aj)         # O(n)
    A[j] = 0                # O(1)
    if aj == 0:             # O(1)
        return ai           # O(1)
   return Algorithm(A)      # recursive call, called up to n times recursively

只要max(A)不為0 ，則調用最后一次遞歸調用，這是n次，在最壞的情況下，如果所有都是正數。

因此，直到最后一行的所有內容都是O(n) ，並且最后一行使所有內容運行n次，所以總和為O(n^2)

Answer 2

起初，我有點懷疑您的算法是否真正在O（n）中運行。 還有以下程序

import timeit, random
import matplotlib.pyplot as plt

code = """
def Algorithm(A):
    ai = max(A)             # find largest integer
    i = A.index(ai)
    A[i] = 0
    aj = max(A)             # finding second largest integer 

    A[i] = abs(ai - aj)     # update A[i]
    j = A.index(aj)
    A[j] = 0                # replace the A[j] by 0
    if aj == 0:             # if second largest item equals
        return ai       # to zero return the largest integer
    return Algorithm(A)     # call Algorithm(A) with updated A
Algorithm(%s)
"""

x, y = [], []
lst = [random.randint(-1000, 10000)]
for i in range(1000):
    lst.append(random.randint(-1000, 10000))
    time = timeit.timeit(stmt=code % lst, number=10)
    x.append(i)
    y.append(time)

plt.plot(x, y)
plt.show()

為不同的隨機生成的列表測量算法的運行時間（並在之后進行繪制）。 結果

顯然支持非線性增長。 可以這樣說，因為該算法的復雜度為O（n ^ 2），所以無法證明它在O（n）內運行。