如何證明算法的正確性？

Question

我在 Java 中的這個練習有問題，我不明白如何在 Java 中證明這個 sum 方法

這是我做的：

P(0) : If r=0 and i=0 => r=0+a[0]

p(i+1) : r'= r + a[i] and i'=i+1
       r'=r + a[i] + a[i+1]

public static int sum(int[] a) {
    int r = 0;
    int i = 0;
    while (i < a.length) {
        r = r + a[i];
        i = i + 1;
    }

    return r;
} 

Answer 1

循環不變量應該表示r等於a從索引0到索引i的元素之和，不包括在內。 即r = Sum(k<i: a[k]) 。

然后我們可以注釋

int r = 0;
int i = 0;
/* r = Sum(k<i: a[k]) */
while (i < a.length) {
    r = r + a[i];
    /* r = Sum(k<i: a[k]) + a[i] = Sum(k<i+1: a[k]) */
    i = i + 1;
    /* r = Sum(k<i: a[k]) */
}
/* r = Sum(k<=a.length: a[k]) */

證明的關鍵是

Sum(k<i: a[k]) + a[i] = Sum(k<i+1: a[k])

表示總和是遞增獲得的。

Answer 2

最簡單的方法是定義一組輸入及其預期輸出。 如果這是用於練習，您可能會獲得這些值，或者您可能需要手動計算其中的一些值。 然后我將使用這些已知輸入編寫單元測試，以查看每個輸出是否與預期值匹配。 如果您發現它們不匹配的地方，請仔細檢查您的算法和預期值。 並排完成每個步驟並找出哪個是錯誤的（或者兩者是否都錯誤）。

另一種選擇是用另一種語言編寫相同的算法； 理想情況下，您不能復制粘貼算法的實現以防止共享常見錯誤。 然后使用大量輸入運行兩者。 如果兩個實現對每個輸入都有匹配的結果，您就可以更有把握地認為兩者都是正確的。

第三種選擇是找到一組不變量，即在算法的各個階段可證明為真的事物。 然后在所有那些表明不變量成立的點上編寫測試（或只是拋出assert語句）。 for every iteration of the "i" loop, r' >= r之類for every iteration of the "i" loop, r' >= r事情。 然后針對大范圍的輸入運行它，如果這些斷言中的任何一個失敗，您可以開始深入研究並找出您忘記在算法中處理的邊緣情況（例如，如果輸入為空怎么辦？我如何處理否定數字？等）

Answer 3

證明您的算法具有預期響應的可能性之一是用單元測試覆蓋它。

@Test
public void sumWorksFineWithNaturalValues() {

    int[] input = {1, 2, 3, 4};
    int expectedResponse = 10;

    assertThat(sum(input)).isEqualTo(expectedResponse);
}

@Test
public void sumCanHandleNegativeValues() {

    int[] input = {0, 1, -2, -3, 4};
    int expectedResponse = 0;

    assertThat(sum(input)).isEqualTo(expectedResponse);
}

@Test
public void sumCanHandleEmptyArray() {

    int[] input = {};
    int expectedResponse = 0;

    assertThat(sum(input)).isEqualTo(expectedResponse);
}

我已經將assertj庫用於 Java 測試