找到前N個自然數的多個因子的最佳算法是什么？

Question

我必須找到從2 to N所有數字的因子總數。

這是我的方法。

運行Sieve of Eratosthenes並獲得從2 to N所有素數。

對於從2 to N每個數，進行素因子化並獲得所有素因子的指數。 為每個素數因子指數加1並乘以所有指數，即

N = 2^x1 * 3^x2 * 5*x^3 ...

然后，

Number of factors = (x1 + 1) * (x2 + 1) * (x3 + 1) ...

是否有任何替代/有效的方法可以有效地計算前N自然數的因子總數。

Answer 1

2和N之間所有整數的因子數可以通過以下公式在O（N）中計算：

total = N/1 + N/2 + ... + N/N - 1. (integer division)

在2和N之間的任何特定整數x是2和N之間的以下整數的因子：x，2x，3x，4x，...，（N / x）x

例1，從2到6的數字的因子總數是13：6/1 + 6/2 + 6/3 + 6/4 + 6/5 + 6/6 - 1 = 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1-1 = 13

These are the factors:
2: 1, 2
3: 1, 3
4: 1, 2, 4
5: 1, 5
6: 1, 2, 3, 6

2, 3, and 5 all have 2 factors, 4 has 3, and 6 has 4, for a total of 13.

如果你只想要素數因素：

total = N/p1 + N/p2 + ... + N/pk where pk is the largest prime <= N.

例如，N = 6：6/2 + 6/3 + 6/5 = 6

2: 2
3: 3
4: 2
5: 5
6: 2, 3