為什么 uint64_t 不能正確顯示 pow(2, 64) - 1？

Question

我試圖理解為什么uint64_t類型不能正確顯示pow(2,64)-1 。 cplusplus 標准是 199711L。

我檢查了 C++98 標准下的pow()函數，它是

double pow (double base     , double exponent);
float pow (float base      , float exponent);
long double pow (long double base, long double exponent);
double pow (double base     , int exponent);
long double pow (long double base, int exponent);

所以我寫了以下片段

double max1 = (pow(2, 64) - 1);
cout << max1 << endl;

uint64_t max2 = (pow(2, 64) - 1);
cout << max2 << endl;

uint64_t max3 = -1;
cout << max3 << endl;

輸出是：

max1: 1.84467e+019
max2: 9223372036854775808
max3: 18446744073709551615

Answer 1

浮點數的精度是有限的。

在您的系統上（通常假設是 binary64 IEEE-754 格式） 18446744073709551615不是以double格式表示的數字。 有表示的最接近的數字恰好是18446744073709551616 。

將兩個大小相差很大的浮點數相減（和相加）通常會產生錯誤。 對於較小的操作數，此錯誤可能很大。 在18446744073709551616. - 1. -> 18446744073709551616.的情況下，減法的誤差為 1，實際上與較小的操作數相同。

當浮點值被轉換為整數類型，並且該值不能適合整數類型時，程序的行為是未定義的 - 即使整數類型是無符號的。

Answer 2

TL;DR ：不是uint64_t類型不能正確顯示pow(2,64)-1而是相反：由於缺少有效位， double不能精確存儲 2 ⁶⁴ - 1 。 您只能使用 64 位或更高精度的類型（如許多平台上的long double ）來執行此操作。 嘗試std::pow(2.0L, 64) - 1.0L （注意L后綴）或powl(2.0L, 64) - 1.0L; 看看

無論如何，您不應該從一開始就將浮點類型用於整數數學。 不僅計算pow(2, x)比1ULL << x慢得多，而且由於double精度有限，它還會導致您看到的問題。 使用uint64_t max2 = -1代替，或者((unsigned __int128)1ULL << 64) - 1如果編譯器支持__int128

---

pow(2, 64) - 1是double表達式，而不是int ，因為pow沒有任何返回整數類型的重載。 整數1將被提升到與pow的結果相同的等級

但是，由於 IEEE-754 雙精度只有 64 位長，因此您永遠無法存儲具有 64 位或更多有效位的值，例如 2 ⁶⁴ -1

• 不能映射到雙精度的 64 位無符號整數
• 所有整數值都完美地表示為雙精度值嗎？

因此pow(2, 64) - 1將四舍五入到最接近的可表示值，即pow(2, 64)本身，而pow(2, 64) - 1 == pow(2, 64)將導致 1。小於它的最大值是 18446744073709549568 = 2 ⁶⁴ - 2048。您可以使用std::nextafter檢查

在某些平台（特別是 x86，MSVC 除外）上， long double確實有64 位的 significand ，因此在這種情況下您將獲得正確的值。 以下片段

double max1 = pow(2, 64) - 1;
std::cout << "pow(2, 64) - 1 = " << std::fixed << max1 << '\n';
std::cout << "Previous representable value: " << std::nextafter(max1, 0) << '\n';
std::cout << (pow(2, 64) - 1 == pow(2, 64)) << '\n';

long double max2 = pow(2.0L, 64) - 1.0L;
std::cout << std::fixed << max2 << '\n';

打印出來

pow(2, 64) - 1 = 18446744073709551616.000000
Previous representable value: 18446744073709549568.000000
1
18446744073709551615.000000

您可以清楚地看到long double可以按預期存儲正確的值

在許多其他平台上double可能是IEEE-754 四倍精度或double-double 。 兩者都有超過 64 位的有效數，所以你可以做同樣的事情。 但當然開銷會更高