證明或反駁時間復雜性

Question

我馬上要考試了，我很久沒上大學了，因為我在醫院

證明或反駁以下陳述：

1. log(n)= O( √ n)

2. 3^(n-1)= O(2^n)

3. f(n) + g(n) = O(f(g(n)))

4. 2^(n+1) = O(2^n)

有人可以幫我解釋一下嗎？

Answer 1

(1) 是正確的，因為 log(n) 的增長速度比任何多項式都慢，包括 sqrt(n) = n^(1/2)。 為了證明這一點，我們可以觀察到 log(n) 和 sqrt(n) 都是 n > 0 的嚴格遞增函數，然后將重點放在一個都容易計算的序列上，例如 2^(2k)。 現在我們看到 log(2^(2k)) = 2k，但是 sqrt(2^(2k)) = 2^k。 對於 k = 2，2k = 2^k，對於 k > 2，2k < 2^k。 這掩蓋了一些細節，但這個想法是合理的。 您可以通過論證在 2^(2k) 和 2^(2(k+1)) 之間，當 k >= 2 時，兩個函數的值都大於 1，因此可以通過將 sqrt(n) 乘以消除任何交叉一些常數。

(2) 3^(n-1) 不是 O(2^n)。 假設這是真的。 然后存在 n0 和 c，使得對於 n > n0，3^(n-1) <= c*2^n。 首先，通過在前面添加（1/3）來消除-1； 所以 (1/3)*3^n <= c*2^n。 接下來，除以 2^n：(1/3)*(3/2)^n <= c。 乘以 3：(3/2)^n <= 3c。 最后，取以 3/2 為底的雙方的對數：n <= log_3/2 (3c)。 RHS 是一個常量表達式，n 是一個變量； 所以這對於需要的任意大的 n 是不可能的。 這是一個矛盾，所以我們的假設是錯誤的； 也就是說，3^(n-1) 不是 O(2^n)。

(3) 這不是真的。 f(n) = 1 和 g(n) = n 是一個簡單的反例。 在這種情況下，f(n) + g(n) = 1 + n 但 O(f(g(n)) = O(f(n)) = O(1)。

(4) 這是真的。 將 2^(n+1) 重寫為 2*2^n，很明顯，通過選擇 c > 2，這對於 n >= 1 是正確的。