與 map function 相關的邏輯 Coq 證明

Question

我試圖證明以下引理：

forall (A B : Type) (f : A -> B) (l : list A) (y : B),
    In y (map f l) <->
    exists x, f x = y /\ In x l.

我首先拆分處理第一個方向，然后對 l 進行歸納，那么基本情況很容易。 但過去我卡住了。 我認為這與存在 x 以及無論我在哪里嘗試引入 x 都無法讓 x 與 x0 對齊有關。 幫助！

Answer 1

我不明白你關於x0的問題，如果這是關於 Coq 自動將x重命名為x0 。

如果我要解決你的目標，我會這樣做：

Goal forall (A B : Type) (f : A -> B) (l : list A) (y : B),
    In y (map f l) <->
    exists x, f x = y /\ In x l.
Proof.
  intros A B f l y. split.
  - intro h. induction l as [| a l ih].
    + contradict h.
    + simpl in h. destruct h as [h | h].
      * exists a. split.
        -- assumption.
        -- left. reflexivity.
      * specialize (ih h). destruct ih as [x [e i]].
        exists x. split.
        -- assumption.
        -- right. assumption.

也許您想排列歸納假設和直接應用它的目標？ 不幸的是，我認為您必須像我一樣做，首先將歸納假設破壞為x及其屬性，然后在您規定它位於l尾部的位置重構目標。