二叉樹和的循環不變量

Question

我想為下面的一段代碼找到一個循環不變量，我似乎無法弄清楚這段代碼中呈現的任何類型的關系。

該算法的目標是找到二叉樹中所有元素的總和。 它將節點存儲在一個名為s的堆棧中。

def TreeSum(root):
    res = 0
    s.push(root)
    while s.size > 0:
        node = s.pop()
        res = res + node.num
        if node.right != None:
            s.push(node.right)
        elif node.left != None:
            s.push(node.left)
    return res 

我注意到res是所有當前節點的父節點以及其父節點左側的總和，但我不知道如何將其表述為循環不變量。

Answer 1

該算法應該計算二叉樹中數字的總和。 為了證明它的正確性，有兩個重要的事實需要證明：首先它確實計算了它訪問的節點的總和，其次它訪問了每個節點一次。 因此，我們需要找到至少兩個不變量，一個用於證明這些事實中的每一個。

為了更正式地討論“已訪問”或“未訪問”節點，讓我們在算法中添加幾行代碼，以跟蹤“已訪問”節點列表。 這些行顯然不會改變算法的行為，因為visited只寫入，從不讀取：

def TreeSum(root):
    res = 0
    s = Stack()
    s.push(root)

    visited = [] # added line to simplify proof

    while s.size > 0:
        node = s.pop()

        visited.append(node) # added line to simplify proof

        res = res + node.num
        if node.right != None:
            s.push(node.right)
        elif node.left != None:
            s.push(node.left)
    return res

我還添加了算法所需的一行，讓s成為一個新堆棧，否則s沒有定義或者如果它是一個全局變量，那么我們不能保證在算法開始時它是空的。

所需的不變量如下：

1. res等於a.num的總和 for a in visited invisited 。
2. For all nodes a in visited , and all nodes c not in visited which are descendants of a , either c in s or there is a unique node b in s such that b is a descendant of a and an ancestor of c .
3. root in s或root in visited 。

需要第三個不變量來得出結論，當循環終止時， visited包含每個節點，因此res是每個節點的總和。 如果沒有這個，其他兩個不變量在visited為空且res為0 時得到滿足，但第三個不變量允許我們拒絕這種可能性。