單純形算法：初始化-單純形

Question

我試圖找出“算法簡介，第 3 版”一書中的單純形算法。 “Initial-Simplex”程序以標准形式為輸入，檢查標准形式是否存在初始基本可行解。 偽代碼如下：

在第 2 行，它檢查數組 b 中的最小變量是否大於或等於 0。如果不是，則構造一個 Laux 並執行 pivot 以消除 b 內的負變量。 然后在第 9 行，它顯示基本解決方案對於 Laux 是可行的。 問題是，如果最初在數組 b 中，有多個負變量怎么辦？ 例如原點 b 是 [-2, -1, 3, 1]，那么在第 1 行，我們有 b[k]=-2，所以 k=0。 但是執行完第4行到第9行后，b內還有一個負變量-1。 在這種情況下，我們不能說基本的解決方案對 Laux 來說是可行的。 總之，沒有檢查b中的所有變量是否為非負的機制，並且第4行到第9行不在循環內。 該算法是否假設最初小於一個負變量在 b 內？

Answer 1

我再次檢查了算法，我想我知道原因了。 對於下面的例子，由於-4是數組b中的最小變量，在一個pivot之后，它變成了4。即使b本來可能還有其他負變量，它們也不能小於-4，因為-4是最小的. 我們用另一個變量替換x0后，x0對應的bx0值為4，我們有|4| 大於或等於任何其他 |bi| 在bi < 0的數組中。所以在pivot之后，新的bi必須是非負數。 對於標准表格

maximize 2x1 - x2
subject to
2x1-x2 <= -2
x1 - 5x2 <= -4
x1, x2 >= 0

松弛形式是

z = -x0
2x1 - x2 - x0 <= -2
x1 - 5x2 - x0 <= -4
x1, x2, x0 >= 0

在 pivot 之后，

x0 = 4 + x1 - 5x2 + x4
x3 = -2 - 2x1 -x2 + (4 + x1 - 5x2 + x4)

我們可以看到 -2 + 4 大於 0。b 中不會有任何負變量。