找到所有整數 p 和 q 的優化方法，使得 2^p*3^q 具有給定的十進制長度

Question

找出a和b所有可能組合，使得r的十進制位數是給定的數字N 。

Answer 1

2^p * 3^q = 10^x 對於某些 x

10^(log10(2)*p) * 10^(log10(3)*q) = 10^x

所以

x = log10(2)*p + log10(3)*q

並且您知道 x 必須介於 N - 1（包括）和 N（不包括）之間

所以你必須找到所有的 p, q ：

N - 1 <= log10(2)*p + log10(3)*q < N

然后你需要找到 p 和 q 可能的最小值和最大值，如果你分析和過濾不適當的值，你可以使用循環遍歷所有 p、q 或更貪婪的解決方案

Answer 2

這個問題自然地推廣到找到所有p, q的問題，使得2^p * 3^q介於minimum和maximum 。 其中min = 10^N和max = 10^(N+1) - 1 。

我會講算法，也會講長度為2的特殊情況作為例子。

第一步是生成一個 2 的冪數組，直到通過max 。 換句話說， [1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128] 。 任何時候你看到形式為2^p東西都可以通過數組查找來計算。

接下來我們找到min_p和max_p使得對於min_p <= p <= max_p我們有min <= 2^p <= max 。 我們通過從數組的末尾向后搜索直到找到max_p然后向后更多地向后搜索max_p來min_p 。 在我們的例子中， min_p = 4和max_p = 6 。

現在我們從q=0開始，然后進行如下操作。

q = 0
pow = 1
while 0 <= max_p:
    for p between min_p and max_p:
        add (p, q) to the answer

    pow *= 3
    q += 1
    # We want min_p to stop at 0
    while 0 < min_p and min < pow * 2^(min_p - 1):
        min_p -= 1
    # max_p going below 0 is how we know to stop.
    while 0 <= max_p and max < pow * 2^max_p:
        max_p -= 1

在我們的示例中，這將按如下方式工作：

min_p = 4, max_p = 6
q = 0
add (4, 0), (5, 0), (6, 0) to answer
q = 1
min_p = 2
max_p = 5
add (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1) to answer
q = 2
min_p = 0
max_p = 3
add (0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2) to answer
q = 3
min_p = 0
max_p = 1
add (0, 3), (1, 3) to answer
q = 4
min_p = 0
max_p = 0
add (0, 4) to answer
q = 5
min_p = 0
max_p = -1
finish

我們現在的回答是：

(4, 0), (5, 0), (6, 0), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1),
(0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2), (0, 3), (1, 3), (0, 4)

也就是說：

16, 32, 64, 12, 24, 48, 96, 18, 36, 72, 27, 54, 81

Answer 3

log(N)/log(3) 算法還不夠嗎？

先求N，十進制的位數。

int count_p = 0
while (N%2 == 0) {
   count_p += 1;
   N /= 2;
}

int count_q = 0
while (N%3 == 0) {
   count_q += 1;
   N /= 3;
}

這給你 p 和 q。