將一棵二叉搜索樹右轉換為另一棵的時間復雜度

Question

如果可以通過僅對 T1 執行右旋轉從 T1 獲得 T2，則 BST T1 可以右轉換為另一個 BST T2。 我需要證明這個操作可以在 $O(n^2)$ 右旋中完成。

假設給定 T1 可以右轉換為 T2。 我理解算法的遞歸性質，因為我們首先將 T2 的根（它必須在 T1 的最左側路徑中才能右轉換）帶到 T1 的根，然后重復此過程T1 的 2 個子樹。

但是，我無法提出一個演示最壞情況行為的示例。 盡管我不確定如何證明這是否是最壞的情況，但我能夠想到這兩棵樹。

 Tree 1                Tree 2 

          6                  1                   
         /                    \                 
        5                      2              
       /                        \               
      4                          3               
     /                            \                  
    3                              4                
   /                                \
  2                                  6
 /                                  /
1                                  5

通過從節點 2 開始向右旋轉 5+4+3+2 次，可以將樹 1 右轉換為 T2。

一般來說，我如何找到需要 $O(n^2)$ 右轉才能將一個 BST 轉換為另一個的情況？

Answer 1

證明草圖：

令T1=(V,E) , n=#V 。 考慮在從T1開始的重復（右）旋轉過程中發生的樹序列<T1 = X_0, X_1, ..., X_(t-1), X_t = T2> 。 對於任何給定的旋轉，讓“旋轉錨”表示旋轉子樹的根節點。

觀察#1：
旋轉任何給定的子樹不會改變它的頂點集。

觀察#2：
在給定子樹的任何右旋轉序列s中，每個頂點最多是一次旋轉錨點。 （在每次右旋轉中，錨點遷移到右子樹中。右旋轉后的新根起源於左子樹；或者請注意，每次旋轉時，右子樹都會增長 1 個頂點；因此對於子樹S ，最多有#V(S)-1個旋轉）。

觀察#3：
右旋轉不會改變子樹的數量。

任何樹中子樹的數量都等於可用根的數量#V-1 。 因此，最大長度的右旋轉序列涉及O(n)個子樹，每個子樹最多有#V(S)-1 (= O(n) ) 個旋轉，總共O(n^2) 。