證明 Prop 中的兩個居民不相等？

Question

是否有可能有一些A, B: Prop以便我們可以提供以下證明：

Section QUESTION.
A: Prop := <whatever you want> .
B : Prop := <whatever you want> .
Theorem ANeqB: A <> B.
Proof.
<a proof of this fact>
Qed.

直覺上，我認為不會，因為這可以讓我們“區分”證明，但是如果不計算A或B就不能做到這一點。 然而，Coq 明確禁止我們檢查證明，因為它們必須在運行時被擦除。 因此，只有Prop應該能夠檢查Prop （由於擦除），但檢查始終是計算性的，因此Prop不能檢查Prop 。 因此，沒有任何東西可以檢查Prop ，並且無法證明上述定理ANeqB 。

• 如果我上面的解釋是不正確的，你能解釋一下為什么會這樣嗎？
• 如果定理ANeqB不能被證明，你能給我指出這個事實的證明嗎？
• 如果定理ANeqB可以被證明，你能告訴我我的直覺在哪里失敗嗎？

編輯：

令我震驚的是，由於我們可以將證明無關性作為一個額外的公理（ Axiom proof_irrelevance: forall (P:Prop) (p1 p2:P), p1 = p2. ），因此無法在 Coq 中證明定理ANeqB --- 如果可以，但是允許proof_irrelevance作為額外的公理是不合理的。

這改變了我的問題，然后：

• 是否可以證明某些居民A和B的ANeqB ？ （ proof_irrelevance更強：它表明我們不能證明A <> B [實際上，我們可以證明A = B的更強有力的陳述] 對於所有A, B ）
• 如果不是，有人可以提供證明ANeqB不能在 Coq 的基於公理系統中得到證明嗎？

Answer 1

我想你可能在想別的東西。 Prop本身並不是無關緊要的證據。 它肯定有可區分的元素。 例如， True <> False 。

Section QUESTION.
Definition A: Prop := True.
Definition B : Prop := False.

Theorem ANeqB: A <> B.
Proof.
  unfold A, B.
  intro p.
  destruct p.
  exact I.
Qed.

End QUESTION.

相反，可能證明無關的是Prop的元素。 在公理中

Axiom proof_irrelevance: forall (P: Prop) (p q: P), p = q.

p和q本身不是Prop Prop某些元素的元素。