如何將延續單子分解為左右伴隨？

Question

由於 State monad 可以分解為 Product（左 - Functor）和 Reader（右 - 可表示）。

1. 有沒有辦法分解Continuation Monad？ 下面的代碼是我的嘗試，它不會進行類型檢查

-- To form a -> (a -> k) -> k
{-# LANGUAGE MultiParamTypeClasses, TypeOperators, InstanceSigs, TypeSynonymInstances #-}
type (<-:) o i = i -> o
-- I Dont think we can have Functor & Representable for this type synonym

class Isomorphism a b where
   from :: a -> b
   to :: b -> a

instance Adjunction ((<-:) e) ((<-:) e) where
   unit :: a -> (a -> e) -> e
   unit a handler = handler a

   counit :: (a -> e) -> e -> a
   counit f e = undefined -- If we have a constraint on Isomorphism a e then we can implement this

2. 是否有形成單子的左右伴隨的列表？

3. 我讀過，給定一對伴隨詞，它們形成一個獨特的 Monad 和 Comonad，但是，給定一個 Monad，它可以分解為多個因子。 有這方面的例子嗎？

Answer 1

這不會進行類型檢查，因為 class Adjunction僅代表一小部分附加功能，其中兩個函子都是Hask 上的 endofunctors 。

事實證明， (<-:) r -| (<-:) r不是這種情況。 (<-:) r -| (<-:) r 。 這里有兩個微妙不同的函子：

• f = (<-:) r ，從 Hask 到 Op(Hask) 的函子（Hask 的相反類別，有時也表示 Hask^op）
• g = (<-:) r ，從 Op(Hask) 到 Hask 的函子

特別是， counit應該是 Op(Hask) 類別中的自然變換，它可以翻轉箭頭：

unit   :: a -> g (f a)
counit :: f (g a) <-: a

事實上， counit與這個附加詞中的unit是一致的。

為了正確捕捉這一點，我們需要泛化Functor和Adjunction類，以便我們可以在不同類別之間進行 model 附加：

class Exofunctor c d f where
  exomap :: c a b -> d (f a) (f b)

class
  (Exofunctor d c f, Exofunctor c d g) =>
  Adjunction
    (c :: k -> k -> Type)
    (d :: h -> h -> Type)
    (f :: h -> k)
    (g :: k -> h) where
  unit :: d a (g (f a))
  counit :: c (f (g a)) a

然后我們再次得到Compose是一個單子（如果我們翻轉附加詞，也是一個共單子）：

newtype Compose f g a = Compose { unCompose :: f (g a) }

adjReturn :: forall c f g a. Adjunction c (->) f g => a -> Compose g f a
adjReturn = Compose . unit @_ @_ @c @(->)

adjJoin :: forall c f g a. Adjunction c (->) f g => Compose g f (Compose g f a) -> Compose g f a
adjJoin = Compose . exomap (counit @_ @_ @c @(->)) . (exomap . exomap @(->) @c) unCompose . unCompose

而Cont只是其中的一個特例：

type Cont r = Compose ((<-:) r) ((<-:) r)

有關更多詳細信息，另請參閱此要點：https://gist.github.com/Lysxia/beb6f9df9777bbf56fe5b42de04e6c64

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我讀過，給定一對伴隨詞，它們形成一個獨特的 Monad 和 Comonad，但給定一個 Monad，它可以分解為多個因子。 有這方面的例子嗎？

因式分解通常不是唯一的。 一旦你如上所述概括了附加詞，那么你至少可以將任何 monad M作為其 Kleisli 類別和它的基本類別（在本例中為 Hask）之間的附加詞。

Every monad M defines an adjunction
  F -| G
where

F : (->) -> Kleisli M
  : Type -> Type                -- Types are the objects of both categories (->) and Kleisli m.
                                -- The left adjoint F maps each object to itself.
  : (a -> b) -> (a -> M b)      -- The morphism mapping uses return.

G : Kleisli M -> (->)
  : Type -> Type                -- The right adjoint G maps each object a to m a
  : (a -> M b) -> (M a -> M b)  -- This is (=<<)

我不知道延續單子是否對應於 Hask 上的 endofunctors 之間的附屬物。

另請參閱有關 monad 的 nCatLab 文章： https://ncatlab.org/nlab/show/monad#RelationToAdjunctionsAndMonadicity

與附加詞和一元性的關系

每個附加詞 (L ⊣ R) 誘導出一個單子 R∘L 和一個共單子 L∘R。 通常有不止一個附加詞以這種方式產生一個給定的單子，實際上對於一個給定的單子有一類附加詞。 該類別中的初始 object 是單子的 Kleisli 類別的附屬物，而終端 object 是代數的 Eilenberg-Moore 類別的附屬物。 (例如 Borceux, vol. 2, prop. 4.2.2) 后者被稱為一元附加語。