如何以最有效的方式將兩個未排序的數組合並為一個已排序的數組？

Question

假設我們有兩個 arrays：

A[] = {7, 15, 2};     //*Size: n* 

B[] = {5, 96, 15};    //*Size: m*

我們想要得到c[] = {2, 5, 7, 15, 15, 96} 。

我有一個天真的方法：首先對 arrays A和B進行排序，然后將它們合並以獲得c 。

時間復雜度：O (nlogn + mlogm + (n + m))

空間復雜度：O ( (n + m) )

但是有沒有有效的方法呢？

Answer 1

不，它不能做得更好，因為對於一般情況排序，這意味着排序比O(nlogn)更快。 （在漸近時間復雜度方面）

首先，請注意， O(nlogn + mlogm) = O((n+m)log(n+m)

不失一般性， n <= m （否則只需切換數組）。

nlogn + mlogm <= (n+m)log(n+m) + (n+m)log(n+m) = 2(n+m)log(n+m)
which is in O((n+m)log(n+m))
(n+m)log(n+m) <= 2n*log(2n) <= 2n*log(2n) + 2m*log(2m) <= 2(nlog(n) +mlog(m) + nlog(2) + mlog(2))
which is in O(nlogn + mlogm)

這意味着，就漸近時間復雜度而言，建議的方法並不比組合 arrays 並在完成后排序更好。

現在，假設這可以在O(f(n,m))中完成，其中f(n)在o((n+m)log(n+m))中（這里有小 o 符號）。 這意味着，對於任何給定的數組 - 您可以將其拆分為兩個 arrays，然后運行建議的算法。 這與排序是Omega(nlogn)問題這一事實相矛盾。