插入排序的具體運行時復雜度是多少？

Question

我只是回顧了一些基本的排序算法。 我實現了下面的插入排序。

  public static int[] insertionSort(int[] arr){
      int I = 0;
      for(int i = 0; i < arr.length; i++){
          for(int j = 0; j < i; j++){
              if(arr[i] < arr[j]){
                  int temp = arr[i];
                  arr[i] = arr[j];
                  arr[j] = temp;
                  
              }
              I++;
          }
      }
      System.out.println(I);
      return arr;
  }

I為一個大小為 100 的數組打印出 4950，其中包含 100 個隨機生成的整數。

我知道該算法被認為是 O(n^2)，但是在算術上更正確的運行時間是什么？ 如果I假設它實際上是 O(N^2)，將打印出 10,000 而不是 4950。

Answer 1

Big-Oh 表示法為我們提供了算法在輸入大小變大時必須做的工作量。 單個輸入測試沒有提供足夠的信息來驗證理論上的 Big-Oh。 您應該在從 100 到 100 萬的不同大小的 arrays 上運行算法，並繪制 output 圖形，其中數組的大小作為 x 變量，代碼輸出的步數作為 y 變量。 執行此操作時，您會看到圖形是拋物線。

您可以使用代數來獲得盡可能接近此數據的y = a*x^2 + b*x +c形式的 function。 但是使用 Big-Oh 表示法，我們不關心較小的術語，因為它們與x^2部分相比變得微不足道。 例如，當x = 10^3時， x^2 = 10^6遠大於b*x + c 。 如果x = 10^6那么x^2 = 10^12又比b*x + c ，我們可以忽略這些較小的項。

Answer 2

您可以進行以下觀察： 在外循環的第i次迭代中，內循環運行i次，因為i從 0 到 n-1，其中 n 是數組的長度。

在整個算法中，內循環總共運行 T(n) 次，其中

T(n) = 0 + 1 + 2 + ... + (n-1)

這是一個算術級數，很容易證明和等於n上的二次多項式：

T(n) = n*(n-1)/2 = .5*n^2 - .5*n

對於 n = 100，公式預測內部循環將運行 T(100) = 100*99/2 = 4950 次，這與您的計算結果相匹配。