為什么 function 在數字大於 48 位的情況下會失敗？

Question

我試圖找到

(a^b) % 模式

其中 b 和 mod 最大為 10^9，而 l 可能非常大，我已經使用這種關系成功測試了多達 48 位數字

(a^b) % mod = (a%mod)^b % mod

#define ll long long int
ll powerLL(ll x, ll n,ll MOD)
        {

        ll result = 1;
   

 while (n) {
        if (n & 1)
            result = result * x % MOD;
        n = n / 2;
        x = x * x % MOD;
    }
    return result;
}


ll powerStrings(string sa, string sb,ll MOD)
{


    ll a = 0, b = 0;


    for (size_t i = 0; i < sa.length(); i++)
        a = (a * 10 + (sa[i] - '0')) % MOD;

    for (size_t i = 0; i < sb.length(); i++)
        b = (b * 10 + (sb[i] - '0')) % (MOD - 1);

    return powerLL(a, b,MOD);
}

powerStrings("5109109785634228366587086207094636370893763284000","362323789",354252525) 返回208624800但它應該返回323419500 。 在這種情況下 a 是 49 位

powerStrings("300510498717329829809207642824818434714870652000","362323489",354255221) 返回282740484 ，這是正確的。 在這種情況下，a 是 48 位數字

代碼有問題還是我將不得不使用其他方法來做同樣的事情？

Answer 1

它不起作用，因為它在數學上不正確。

一般來說，我們有pow(a, n, m) = pow(a, n % λ(m), m) （ a m互質）其中λ是Carmichael function 。 作為一種特殊情況，當m是素數時，則λ(m) = m - 1 。 費馬小定理也涵蓋了這種情況。 這只是一種特殊情況，它並不總是有效。

λ(354252525) = 2146980 ，如果我破解它，那么正確的結果就會出來。 （雖然基數實際上並不與模數互質）

一般來說，您需要計算 Carmichael function 的模數，這並不重要，但對於小模數是可行的。