從非線性尋根到多目標優化

Question

為了簡化，假設我可以描述一個系統

變量x1和x2 ，

參數p1和p2 ，以及

約束f(x, p) = 0和g(x, p) = 0 ：

例如：

f(x1, x2, p1, p2) = x1^2 * p1 + x1^2 * p2 + x2 = 0

g(x1, x2, p1, p2) = x2^2 * p2 + x1 * p1 = 0

現在，假設給定參數p1和p2的真實值，根存在。 但是，在我的情況下，參數的確定方式並不完美，並且像scipy.optimize的fsolve這樣的非線性根查找器是不成功的。 可以將參數作為變量輸入並嘗試找到根，但是將變量和參數增加一個數量級，就像在我的實際系統中一樣，並且約束變得非常難以遵守。

因此，我一直在研究 python 中的優化包，它可以“解決”我的非線性方程組。 這就是我對優化缺乏理解的障礙。

如果我理解正確，假設我的方程是約束，這意味着必須尊重它們才能使我的設計成功。 但是，我已經意識到，鑒於參數（或大量可能的變量）的不完美性，我需要一個（或多個）目標函數來最小化而不是約束。

描述我的系統的所有方程都具有相同的有效性，所以我認為我不能簡單地選擇一個或幾個方程作為目標函數，並且 rest 仍然作為約束。 看起來我需要將所有方程作為目標函數。

因此，我有兩個問題：

1. 我的邏輯是讓我的所有方程都作為目標函數有效嗎？
2. 什么 python package 可以讓我最小化這些目標函數？

我看過cyipopt 、 casadi 、 pyomo和DEAP ，但我有點迷茫。 我認為一旦我的系統的 model 得到更好的定義，我就會確切地知道要尋找什么。 但是，如果可以提供我的簡單示例的代碼，我將不勝感激。

PS：我的 model 現在有 11 個變量和 11*5 個參數（五個系數代表每個變量的 4 次多項式）。 如果需要，我還可以在優化 package 中為變量添加約束。

Answer 1

使用方程：

e1 = x1**2 * p1 + x1**2 * p2 + x2
e2 = x2**2 * p2 + x1 * p1

可以將方程組求解為硬約束（等式形式）：

m.Equation(e1==0)
m.Equation(e2==0)

或作為軟約束（最小化目標）：

m.Minimize(e1**2)
m.Minimize(e2**2)

這種方法適用於 Pyomo、CasADi 和 Gekko。 這是一個使用這兩種方法的Gekko示例：

from gekko import GEKKO    
import numpy as np
m = GEKKO()
x = m.Array(m.Var,2,value=2)
x1,x2 = x
p = m.Array(m.Param,2,value=1)
p1,p2 = p
e1 = x1**2 * p1 + x1**2 * p2 + x2
e2 = x2**2 * p2 + x1 * p1

# approach #1
m.Equation(e1==0)
m.Equation(e2==0)

# approach #2
m.Minimize(e1**2)
m.Minimize(e2**2)

m.options.SOLVER=1
m.solve()
print('x: ', x)
print('Objective: ',m.options.OBJFCNVAL)

在這種情況下，通過使用一個或另一個（或兩者），解決方案是相同的。 如果是大規模優化問題，求解器可能無法通過軟約束將e1或e2減少為零。 有時同時包含兩者可以幫助求解器找到解決方案。