如何找到這個遞歸函數的遞歸關系？

Question

在這里，我得到了一個這樣的函數，我想找到它的遞歸關系，然后計算該遞歸關系的時間復雜度。

 public static void f(int n) {
    if (n == 1) {
        //" Do sth "
    } else {
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            f(i - 1);
            //" Do sth "
        }
    }
}

實際上我為此嘗試了很多，我得到了這個函數的T(n) = n * f( n-1)作為關系，但我不確定。 你能幫我找到正確的關系並解決它嗎？

Answer 1

假設 T(1) = "Do sth" 是恆定的工作，即它不依賴於輸入大小n ，您可以將遞歸時間函數編寫為：

T(n) =  T(1) + T(2) + ... + T(n-1)
     =  { T(1) } +  { T(1) } + { T(1) + T(2) } + { T(1) + T(2) + T(3) } + { T(1) + T(2) + T(3) + T(4) } +....

     [let T(1) = x]

     =  x + x + {x + x} + {x + x + (x + x)} + {x + x + (x + x) + x + x + (x + x)} +....

     = x + x + 2x + 4x + 8x + ...

     ~ x.2^(n-2)

     ~ O(2^n)

這是一個python程序，用於演示求和的系數序列：

t = [0 for i in range(10)]
for i in range(1,10):
  if i == 1:
    t[i] = 1
  else:
    val = 0
    for j in range(1,i):
      val += t[j]
    t[i] = val
print(t[1:])

打印 : [1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128]

你可以看到 2 ^(n-2) for n >= 2 在每個 'n' 上都很好，復雜度是 O(2 ⁿ )