這是一個非多項式問題嗎？ 如果不是，如何在多項式時間內解決？

Question

問題：

編寫一個具有 2 個輸入參數的 function：

• items ：2元組正整數的列表/向量（即> = 1）
• target ：正 integer（即 >= 1）

找到一個元組子集，使得：

• 子集的第一個元組元素之和大於或等於輸入target 。
• 子集的第二個元組元素的總和是最小的，我們稱該總和值為best 。

function 應該返回best 。 此外，保證有解決方案。 換句話說，所有第一個元組元素的總和總是大於或等於目標。

這是這樣一個 function 的偽代碼簽名：

 (items: List<(int, int)>, target: int) -> int

這里有一些例子......

示例 A：

• 項目 = [(25,50), (49,51), (25,50), (1,100)]
• 目標 = 50
• 答案 = 100

示例 B：

• 項目 = [(25,50), (49,51), (25,50), (1,5)]
• 目標 = 50
• 答案 = 56

這是我天真的指數時間解決方案：

1. Go 通過所有可能的子集（因此是指數時間）
2. 對於每個子集，計算第一個元組元素的總和
3. 如果該總和大於或等於目標，則計算第二個元組元素的總和
4. 如果該新總和是迄今為止找到的最小的，則更新最小值

我還嘗試確定問題的數學屬性是否允許使用捷徑，例如 go 通過最大的“第一個元素除以第二個元素”比率的項目（最划算）。 但是，如示例 A 所示，這並非對所有情況都有效。

這是一個非多項式問題嗎？ 如果不是，如何在多項式時間內解決？

Answer 1

這是一個 0-1 背包問題： https://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem

元組是項目，第一個元組元素是項目值，第二個元組元素是項目權重。 經典的背包要求“ best小於某個特定的限制。

因此，這個問題是 NP 完全的，沒有多項式時間解。

有正常的動態規划解決方案可以適應在 O(items.length * best) 中工作。 最簡單的方法是使用正常的 DP 方法，首先對最佳值設置一個小的限制，然后將其加倍，直到可以實現目標值。