在 Coq 中遞歸定義列表長度不確定我的 function 是否錯誤並卡住

Question

所以下面我試圖定義列表長度 function 的尾遞歸版本，並證明 function 與“長度”相同 function 是代碼。 證明時卡住了

Fixpoint length_tail (A: Type) (l: list A) (len: nat): nat :=
  match l, len with
  | [], len => len
  | _ :: t, len => length_tail _ t (1 + len)
end.

Example length_rev: forall {A: Type} {l1: list A}, 
  @length_tail _ l1 0 = @length _ l1.
Proof.
  intros.
  induction l1.
  - simpl. reflexivity.
  - simpl.
    rewrite <- IHl1.
    + simpl.
Admitted.

以下是“長度”的原始 function：

Fixpoint length (l:natlist) : nat :=
  match l with
  | nil => O
  | h :: t => S (length t)
  end.

如果有人可以提供幫助或提供一些提示，將不勝感激！ 謝謝！

Answer 1

幾件事：

首先，您在 function 中的累加器l和len上進行模式匹配，但您沒有查看它的形狀，以下也可以：

Fixpoint length_tail (A: Type) (l: list A) (len: nat): nat :=
  match l with
  | [] => len
  | _ :: t => length_tail _ t (1 + len)
  end.

其次，您面臨的問題是您要通過歸納證明的引理不夠普遍。 實際上，您假設累加器是0 ，但正如您在遞歸調用中看到的那樣，您有1 + len （順便說一下，這只是S len ），它永遠不會等於0 。

為了通過歸納證明這一點，您需要證明一些更強大的東西。 通常，您希望給出一個等於length_tail l len在length l方面的表達式，這樣當用0實例化時，您會得到length l 。

對我來說，聽起來length_tail l len = len + length l是一個不錯的選擇。 在使用累加器證明函數的屬性時，您必須經常這樣做。

go 關於這個有幾種方法：

• 你可以直接證明更一般的引理，然后有一個推論，它可能對其他事情有用。
• 您可以在證明中使用更強引理的assert ，然后以它結束。
• 或者你可以在你的證明中generalize你的目標。 我個人不會使用它，但我會展示它來說明一個人可以做什么。

Fixpoint length_tail {A : Type} (l: list A) (len: nat): nat :=
  match l, len with
  | [], len => len
  | _ :: t, len => length_tail t (1 + len)
end.

Example length_rev : forall {A: Type} {l : list A},
  length_tail l 0 = length l.
Proof.
  intros A l.
  change (length l) with (0 + length l).
  generalize 0 as n.
  (* Now the goal is forall n : nat, length_tail l n = n + length l *)

請注意，我在length_tail中將類型標記為隱式，這樣你不認為它更具可讀性嗎？