霍夫曼樹的主張？

Question

我看到了以下聲明：

給定Q={1,2,...,n}和正頻率 function f使得：

f(1) > f(2) >... > f(n) > f(1)/3 ,

然后在霍夫曼樹的最多 3 個不同級別上有葉子。

我一直在尋找一個反例，但沒有運氣，有人可以幫助我嗎？

Answer 1

假設某棵樹的聲明是錯誤的，在深度 H 處具有最淺的葉子。最淺的葉子的頻率為 f(1)。

由於樹的深度至少為 H+3，因此在深度 H+1 處必須有一個至少有 3 個葉子的子樹。 到達 H+3 的最小可能子樹的形狀如下：

   O
  / \
 O   O
    / \
   O   O

子樹的總頻率大於 f(1)，即最淺葉的頻率，但它發生在更深的層次。 因此，我們可以通過交換這個子樹和最淺葉的位置來改進霍夫曼樹。

由於霍夫曼樹被證明是最優的，這不可能發生，所以這個說法一定是正確的。