命題邏輯的樹方法

Question

為什么我們不能像驗證有效性一樣構造一棵樹來測試 2 個公式的邏輯等價性？ 因為如果兩個公式具有相同的邏輯真理，則否定其中一個將關閉樹，對嗎？

Answer 1

我們可以使用真值樹方法來測試邏輯等價性。

2 wffs $\\phi$ 和 $\\psi$ 在邏輯上是等價的，當且僅當它們的估值相等，即 $v(\\phi)=v(\\psi)$。 這意味着我們可以用通常的方式測試 $\\vDash\\phi\\leftrightarrow\\phi.$，即看 $\\lnot(\\phi\\leftrightarrow\\psi)$ 是否可以滿足。

證明

如果 $\\phi$ 在邏輯上等價於 $\\psi$，則 $\\phi\\vDash\\psi$ 和 $\\psi\\vDash\\phi$。 我們可以將語義演繹定理應用到兩個合取詞上，得到 $\\vDash\\phi\\to\\psi$ 和 $\\vDash\\psi\\to\\phi$。

對於reductionio，假設$\\vDash\\phi\\to\\psi$ 和$\\vDash\\psi\\to\\phi$，而$\\nvDash\\phi\\leftrightarrow\\psi$。 如果 $\\nvDash\\phi\\leftrightarrow\\psi$ 則 $v(\\phi)=1$ 且 $v(\\psi)=0$，因此 $v(\\phi\\to\\psi)=0$，這與 $ 矛盾\\vDash\\phi\\to\\psi$，或 $v(\\phi)=0$ 和 $v(\\psi)=1$，因此 $v(\\psi\\to\\phi)=0，這與 $\\vDash 矛盾\\psi\\to\\phi$。 因此，$\\vDash\\phi\\leftrightarrow\\psi$。

考慮到 PL 是健全和完整的，並且邏輯等價的句法證明表明 $\\phi\\vdash\\psi$ 和 $\\psi\\vdash\\phi$ ，這種情況應該不足為奇。

順便說一句，對於有很多分支的特別復雜的 wff 做 2 棵樹仍然會有所幫助，即測試 $\\phi\\vDash\\psi$ 和 $\\psi\\vDash\\phi$。 這樣做的原因是在閱讀反例/IPLI 時避免錯誤。

示例$^1$：

1： https : //www.umsu.de/trees/