給定n個數字的排列數組，計算編號。 元組 (i,j,k,l,m) 使得 i <j<k<l<m and a[i]<a[k]<a[j]<a[m]<a[l]< div><div id="text_translate"><p> 對於軟件開發人員面試的硬算法回合，我最近被問到這個問題。 我能夠使用蠻力/遞歸來做到這一點，不確定預期的方法，對此有什么幫助嗎？</p><blockquote><p> 給定n數字的排列數組，計算元組數(i,j,k,l,m)使得i&lt;j&lt;k&lt;l&lt;m和a[i]&lt;a[k]&lt;a[j]&lt;a[m]&lt;a[l] 。</p></blockquote><p> 我的方法-&gt; 使用遞歸從給定數組中嘗試 (i,j,k,l,m) 的所有元組，並僅考慮滿足條件的元組，例如 N 選擇 5，因為這具有指數時間復雜性，我想讓它成為三次方或二次方</p></div></j<k<l<m>

Question

對於軟件開發人員面試的硬算法回合，我最近被問到這個問題。 我能夠使用蠻力/遞歸來做到這一點，不確定預期的方法，對此有什么幫助嗎？

給定n數字的排列數組，計算元組數(i,j,k,l,m)使得i<j<k<l<m和a[i]<a[k]<a[j]<a[m]<a[l] 。

我的方法-> 使用遞歸從給定數組中嘗試 (i,j,k,l,m) 的所有元組，並僅考慮滿足條件的元組，例如 N 選擇 5，因為這具有指數時間復雜性，我想讓它成為三次方或二次方

Answer 1

我會大量使用Quadtrees 之類的東西。 四叉樹允許您將一堆點放在 2d 中，然后有效地搜索區域。 要么找到點，要么只計算它們。 （存儲每個節點中的點數，然后計數會變得更快，因為當您的正方形完全位於所需區域時，您可以停止。）

一個有用的四叉樹是將排列視為一系列 n 點(i, a[i]) 。 我們可以使用它來查找i在一個范圍內而a[i]在另一個范圍內的所有情況。 叫那棵樹perm 。

第二個有用的四叉樹是 map 所有反轉i < j和a[j] < a[i]到點(i, a[j]) 。 調用那棵樹invert 。

現在您的搜索看起來像這樣：

search invert to find all inversions (j, k):
    x = count i < j with a[i] < a[k] (search perm)
    y = count inversions (l, m) with k < l and a[j] < a[m] (search invert)
    add x*y to total

我相信填充perm將花費時間O(n log(n)) ，填充invert將花費O(n^2 log(n)) ，並且每次搜索以獲取計數應該類似於O((log(n))^2) 。 （不確定那個。）由於存在O(n^2)反轉，因此總性能應該類似於O((n log(n))^2) 。